Exkurs:Mereogeometrien

Aus GIB - Glossar der Bildphilosophie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Exkurs zu: Raum und Geometrie


Mereogeometrien sind eine Gruppe spezi­eller logi­scher Forma­lismen um den n-dimen­siona­len Raum basie­rend auf mereo­logi­schen Kalkü­len zu beschrei­ben. Der Inte­ressen­fokus der Mereo­logie liegt auf Teil-Ganzes-Bezie­hungen zwischen soge­nannten Indi­viduen. Anschau­lich kann man sich Indi­viduen als ausge­dehnte Teile des Raumes vorstel­len.

Beispiel: Axiome

Der mereologische Kalkül von Clarke, der hier als Beispiel ange­führt werden soll ([Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981).
A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. In Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3, 204-218.

Eintrag in Sammlung zeigen
; hier zitiert nach [Vieu 1991a]Vieu,Laure (1991).
Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. Toulouse: INRI, Université Paul Sabatier, Doctoral Thesis.

Eintrag in Sammlung zeigen
: S. 120ff), beruht auf der Ele­mentar­rela­tion C(x, y), durch die ‹Indi­viduum x ist mit Indi­viduum y verbun­den (connec­ted)› ausge­drückt werden soll und deren Eigen­schaften durch die folgen­den Axi­ome bestimmt wird:
A0.1
∀ x (C(x, x))

∀ x ∀ y (C(x, y) → C(y, x))
Axiom der Re­fle­xi­vi­tät und Sym­me­trie[1]
A0.2
∀ x (∀ y ∀ z (C(z, x) ↔ C(z, y)) → x=y)
Axiom der Ex­ten­sion[2]

Definitionen und Bewei­se von Theore­men

Einige der in Clarkes Kalkül mögli­chen Defi­niti­onen sind:

D0.1
DC(x, y)
def
¬ C(x, y) : ‹x ist un­ver­bun­den mit y›
D0.2
P(x, y)
def
∀ z (C(z, x) → C(z, y)) ‹x ist Teil von y›
D0.3
PP(x, y)
def
P(x, y) ∧ ¬ P(y, x) ‹x ist ein ech­ter Teil von y›
D0.4
O(x, y)
def
∃ z (P(z, x) ∧ P(z, y) ‹x über­lappt y›
D0.6
EC(x, y)
def
C(x, y) ∧ ¬ O(x, y) ‹x ist ex­tern ver­bun­den mit y›
D0.7
TP(x, y)
def
P(x,y) ∧ ∃ z (EC(z, x) ∧ EC(z, y)) ‹x ist ein tan­gen­tia­ler Teil von y›
D1.1
x=F(α)
def
∀ y (C(y, x) ↔ ∃  z (z∊α ∧ C(y, z)) ‹x ist iden­tisch mit der Fu­sion der In­di­vi­du­en­menge α›
D1.2
x+y
def
F({z : P(z, x) ∨ P(z, y)}) ‹x+y ist die Summe von x und y› (das beide In­di­vi­duen um­fas­sen­de “Ge­biet”)
D1.5
x∧y
def
F({z : P(z, x) ∧ P(z, y)}) ‹x∧y ist die Schnitt­menge von x und y› (das “Schnitt­ge­biet” der bei­den In­di­vi­duen)
Illustra­tion der Rela­tionen O, TP und EC
  

Damit kann etwa das folgende Theorem formal bewie­sen werden:

T0.34
∀ x ∀ y ∀ z ((TP(z, x) ∧ P(z, y) ∧ P(y, x)) → TP(z, y)

(d.h.: Jeder Randbe­reich (z) einer Region (x), der auch Teil eines Teils von x ist (nämlich von y), ist auch Randbe­reich jenes Teils)


»Punkte«

Hier eine Definition von »Punkt« aus einer Indi­viduen­menge α (wobei Λ die leere Menge sei):

PT(α)
def
¬ α=Λ ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ y∊α) → (EC(x, y) ∨ (O(x, y) ∧ x∧y∊α))) ∧

∀ x ∀ y ((x∊α ∧ P(x, y)) → y∊α) ∧ ∀ x ∀ y (x+y∊α → (x∊α ∨ y∊α))

(d.h.: Alle Individuen, die einen Punkt konsti­tuieren, sind mit­einan­der verbun­den; wenn zwei dieser Indi­viduen über­lappen, dann ist auch ihr Schnittge­biet Ele­ment der konsti­tuieren­den Indi­viduen­menge; jedes Indi­viduum, das ein Ele­ment der den Punkt konsti­tuieren­den Menge enthält, ist eben­falls Teil der Menge; schließlich: Wenn ein Ele­ment der Punkt-konsti­tuieren­den Indi­viduen­menge die “Summe” zweier Indi­viduen ist, müssen auch diese “Summan­den” Teil der Menge sein.)


Mit diesem Kalkül ist es bereits möglich, topo­logische Rela­tionen zu behan­deln. Er kann zudem leicht zu einer Vollgeo­metrie (d.h. einschließ­lich Richtun­gen und metri­scher Distanz) erwei­tert werden. Das heißt, jede geo­metri­sche Konfi­gura­tion kann durch eine Menge von Propo­sitio­nen dieses Kalküls vollstän­dig beschrie­ben werden. Jede Ana­lyse oder Transfor­mation einer geo­metri­schen Konfi­gura­tion kann den Regeln des Kalküls entspre­chend durch logi­sche Ana­lyse oder Transfor­mation jener Propo­sitionen­menge durchge­führt werden (vgl. etwa [Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000).
Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. In Fundamenta Informaticae, 34, 1–31.

Eintrag in Sammlung zeigen
).


Anmerkungen
  1. Re­fle­xi­vi­tät: ‹je­des In­di­vi­du­um ist stets mit sich selbst ver­bun­den›; Sym­met­rie: ‹wenn ein In­di­vi­du­um mit ei­nem an­de­ren ver­bun­den ist, dann ist auch das an­de­re mit dem ers­ten ver­bun­den› (an­schau­lich stel­le man sich da­bei für In­di­vi­du­en räum­li­che Re­gi­o­nen vor).
  2. Pa­ra­phra­siert: ‹Wenn al­le mit ei­nem In­di­vi­du­um x ver­bun­de­nen In­di­vi­du­en auch mit In­di­vi­du­um y ver­bun­den sind und um­ge­kehrt, dann müs­sen x und y iden­tisch sein› oder <es gibt kei­ne zwei tat­säch­lich von­ein­an­der ver­schie­de­ne In­di­vi­du­en, die bei­de durch ge­nau die­sel­be Men­ge von mit ih­nen ver­bun­de­nen In­di­vi­du­en cha­rak­te­ri­siert wä­ren>.
Literatur                             [Sammlung]

[Clarke 1981a]: Clarke, Bowman, L. (1981). A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, Band: 22, Nummer: 3, S. 204-218.

[Pratt-Hartmann 2000a]: Pratt-Hartmann, Ian (2000). Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, Band: 34, S. 1–31. [Vieu 1991a]: Vieu,Laure (1991). Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. Toulouse: INRI, Université Paul Sabatier, Doctoral Thesis.


Hilfe: Nicht angezeigte Literaturangaben

Ausgabe 1: 2013

Verantwortlich:

Lektorat:

Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra [31] — (Hinweis)