Mereogeometrien sind eine Gruppe spezieller logischer Formalismen um den n-dimensionalen Raum basierend auf mereologischen Kalkülen zu beschreiben. Der Interessenfokus der Mereologie liegt auf Teil-Ganzes-Beziehungen zwischen sogenannten Individuen. Anschaulich kann man sich Individuen als ausgedehnte Teile des Raumes vorstellen.
Beispiel: Axiome
Der mereologische Kalkül von Clarke, der hier als Beispiel angeführt werden soll ([Clarke 1981a]Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. ; hier zitiert nach [Vieu 1991a]Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. : S. 120ff), beruht auf der Elementarrelation C(x, y), durch die ‹Individuum x ist mit Individuum y verbunden (connected)› ausgedrückt werden soll und deren Eigenschaften durch die folgenden Axiome bestimmt wird:
A0.1
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∀ x (C(x, x)) ∧ ∀ x ∀ y (C(x, y) → C(y, x))
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Axiom der Reflexivität und Symmetrie[1]
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A0.2
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∀ x (∀ y ∀ z (C(z, x) ↔ C(z, y)) → x=y)
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Axiom der Extension[2]
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Definitionen und Beweise von Theoremen
Einige der in Clarkes Kalkül möglichen Definitionen sind:
D0.1
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DC(x, y)
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≡def
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¬ C(x, y) :
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‹x ist unverbunden mit y›
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D0.2
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P(x, y)
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≡def
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∀ z (C(z, x) → C(z, y))
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‹x ist Teil von y›
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D0.3
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PP(x, y)
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≡def
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P(x, y) ∧ ¬ P(y, x)
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‹x ist ein echter Teil von y›
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D0.4
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O(x, y)
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≡def
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∃ z (P(z, x) ∧ P(z, y)
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‹x überlappt y›
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D0.6
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EC(x, y)
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≡def
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C(x, y) ∧ ¬ O(x, y)
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‹x ist extern verbunden mit y›
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D0.7
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TP(x, y)
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≡def
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P(x,y) ∧ ∃ z (EC(z, x) ∧ EC(z, y))
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‹x ist ein tangentialer Teil von y›
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D1.1
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x=F(α)
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≡def
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∀ y (C(y, x) ↔ ∃ z (z∊α ∧ C(y, z))
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‹x ist identisch mit der Fusion der Individuenmenge α›
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D1.2
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x+y
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≡def
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F({z : P(z, x) ∨ P(z, y)})
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‹x+y ist die Summe von x und y› (das beide Individuen umfassende “Gebiet”)
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D1.5
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x∧y
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≡def
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F({z : P(z, x) ∧ P(z, y)})
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‹x∧y ist die Schnittmenge von x und y› (das “Schnittgebiet” der beiden Individuen)
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Illustration der Relationen O, TP und EC
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Damit kann etwa das folgende Theorem formal bewiesen werden:
T0.34
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∀ x ∀ y ∀ z ((TP(z, x) ∧ P(z, y) ∧ P(y, x)) → TP(z, y)
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(d.h.: Jeder Randbereich (z) einer Region (x), der auch Teil eines Teils von x ist (nämlich von y), ist auch Randbereich jenes Teils)
»Punkte«
Hier eine Definition von »Punkt« aus einer Individuenmenge α (wobei Λ die leere Menge sei):
PT(α)
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≡def
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¬ α=Λ ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ y∊α) → (EC(x, y) ∨ (O(x, y) ∧ x∧y∊α))) ∧
∀ x ∀ y ((x∊α ∧ P(x, y)) → y∊α) ∧ ∀ x ∀ y (x+y∊α → (x∊α ∨ y∊α))
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(d.h.: Alle Individuen, die einen Punkt konstituieren, sind miteinander verbunden; wenn zwei dieser Individuen überlappen, dann ist auch ihr Schnittgebiet Element der konstituierenden Individuenmenge; jedes Individuum, das ein Element der den Punkt konstituierenden Menge enthält, ist ebenfalls Teil der Menge; schließlich: Wenn ein Element der Punkt-konstituierenden Individuenmenge die “Summe” zweier Individuen ist, müssen auch diese “Summanden” Teil der Menge sein.)
Mit diesem Kalkül ist es bereits möglich, topologische Relationen zu behandeln. Er kann zudem leicht zu einer Vollgeometrie (d.h. einschließlich Richtungen und metrischer Distanz) erweitert werden. Das heißt, jede geometrische Konfiguration kann durch eine Menge von Propositionen dieses Kalküls vollständig beschrieben werden. Jede Analyse oder Transformation einer geometrischen Konfiguration kann den Regeln des Kalküls entsprechend durch logische Analyse oder Transformation jener Propositionenmenge durchgeführt werden (vgl. etwa [Pratt-Hartmann 2000a]Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. ).
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Anmerkungen
- ↑ Reflexivität: ‹jedes Individuum ist stets mit sich selbst verbunden›; Symmetrie: ‹wenn ein Individuum mit einem anderen verbunden ist, dann ist auch das andere mit dem ersten verbunden› (anschaulich stelle man sich dabei für Individuen räumliche Regionen vor).
- ↑ Paraphrasiert: ‹Wenn alle mit einem Individuum x verbundenen Individuen auch mit Individuum y verbunden sind und umgekehrt, dann müssen x und y identisch sein› oder <es gibt keine zwei tatsächlich voneinander verschiedene Individuen, die beide durch genau dieselbe Menge von mit ihnen verbundenen Individuen charakterisiert wären>.
[Clarke 1981a]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. [Pratt-Hartmann 2000a]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. [Vieu 1991a]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma.
Hilfe: Nicht angezeigte Literaturangaben
Zitierhinweis:
[Schirra 2013g-q]Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma.
[Clarke 1981a]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. [Pratt-Hartmann 2000a]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. [Vieu 1991a]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma. [Schirra 2013g-q]: Literaturangabe fehlt. Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als: - Buch, - Artikel in Zeitschrift, - Beitrag in Sammelband, - Sammelband, - andere Publikation, - Glossarlemma.
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