Raum und Geometrie

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Glossar-English:Space and Geometry


Raum als Grundkategorie der Bild­morpho­logie

Die Menge der syntaktischen Komponenten wahrneh­mungsna­her Zeichen kann im Prinzip in zwei Gruppen aufge­teilt werden: Einer­seits gibt es eine abstrak­te rela­tiona­le Basis­struktur. Sie spannt meist mehre­re koordi­nierte Dimen­sionen auf, in welche die Ele­mente der zweiten Gruppe einge­ordnet werden können. Letzte­re bilden Syste­me perzep­tueller Marker­werte, die es über­haupt erst erlau­ben, die zugrun­de liegen­de Basis­struktur wahrneh­men zu können. In den Worten Kants formt die Basis­struktur eine reine Anschau­ung.[1] Bei Bildern ist die Basis­struktur der zwei­dimen­siona­le Raum, wohin­gegen die Marker­werte im Wesent­lichen aus Farben und Textu­ren beste­hen, die die rein räumli­che Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen.

Die Regeln, die unser Sprechen über Raum orga­nisie­ren (zumin­dest sofern dieses Sprechen als ratio­nal kontrol­liert verstan­den wird), sind mindes­tens schon seit der neoli­thischen Revo­lution mit der Einfüh­rung von Archi­tektur, Acker­bau und den dazu benö­tigten auf­einan­der abge­stimmten räumli­chen Akti­vitä­ten im Fokus der Aufmerk­samkeit. Heute beeinflus­sen vor allem die Kalkü­lisie­rung der Geo­metrie im anti­ken Griechen­land und ihre alge­braische Refor­mulie­rung im 16. Jhd. die Konzep­tion des reinen Raums, der auch der Bild­syntax zugrun­de liegt.[2]


Geometrische Kalküle als Forma­lisie­rung von Raum

Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genom­men eine Menge von Regeln, die zu­aller­erst die Möglich­keiten festle­gen, über soge­nannte geo­metri­sche Enti­täten ganz im Abstrak­ten – d.h. ohne Bezug auf Konkre­ta mit kontin­genten nicht-geo­metri­schen Eigen­heiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begriff­lichen Bestim­mungen einer Menge räumli­cher Begrif­fe. Die Begrif­fe für ele­menta­re geo­metri­sche Enti­täten werden im Wesent­lichen durch die Rela­tionen bestimmt, in die sie mit­einan­der eintre­ten können. Diese werden übli­cherwei­se unter­teilt in Bezie­hungen von Kontakt und Nachbar­schaft (topo­logi­sche Rela­tionen),[3] Bezie­hungen, die Abstand und Ausdeh­nung betref­fen (metri­sche Rela­tionen)[4] und Bezie­hungen hinsicht­lich Richtung und Orien­tierung (direk­tiona­le oder projek­tive Rela­tionen).[5]

Über geometrische Begriffe zu verfü­gen hat vor allem drei Auswir­kungen:

  • Der ontologische Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlau­ben, etwas als räumlich zu beschrei­ben.[6] Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verste­hen, d.h. als eine geo­metri­sche Enti­tät, bedeu­tet, es als ein rein räumli­ches Etwas zu begrei­fen – unab­hängig von allen ande­ren Charak­teri­sierun­gen, die eben­falls zutref­fen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein).[7] Kurz gesagt: Die Welt erscheint räumlich orga­nisiert, wenn wir ihre Teile mithil­fe geo­metri­scher Begrif­fe unter­scheiden.
  • Der epistemologische Aspekt beinhal­tet (u.a.), dass die Gestal­ten, die in Beschrei­bungen visu­ellen Wahrneh­mens vorkom­men, als geo­metri­sche (und daher: räumli­che) Enti­täten verstan­den werden können. Das heißt, der Kalkül forma­lisiert einen abstrak­ten Teil unse­res Verständ­nisses von der visu­ellen Wahr­nehmung (auch ⊳ Gegen­stand der visu­ellen Wahr­nehmung): Kurz gesagt: Wir sehen die Welt als räumlich orga­nisiert.
  • Der argumentative Aspekt bedeutet schließ­lich, dass die Regeln des Kalküls ange­ben, wie eine gege­bene Beschrei­bung räumli­cher Gegen­stände umge­formt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschrei­bung zu verän­dern: Diese Umfor­mungen werden meist unter der Bezeich­nung ‘räumli­ches Schließen’ zusam­menge­fasst:[8] Kurz gesagt: Wenn wir rati­onal über Räumli­ches disku­tieren, verwen­den wir die Kalkül-Regeln für geo­metri­sche Begrif­fe.

Der Standardansatz zu geometri­schen Kalkü­len ist (1) Euklids axio­mati­sches System, das auf dem Begriff eines unaus­gedehn­ten aber eindeu­tig loka­lisier­ten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist aller­dings ziemlich abstrakt und verhält­nismä­ßig weit entfernt von der konkre­ten Erfah­rung mit Raum. (2) Eine Fami­lie von Non-Standard-Geo­metrie­kalkü­len, die im Wesent­lichen erst im 20. Jhd. ent­wickelt wurde und kogni­tiven Prinzi­pien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Forma­lisie­rung von Geo­metrie ohne dieses Problem und mit inte­ressan­ten Eigen­schaften für die Bild­morpho­logie: Mereo­geome­trien.

Euklidische Geometrie­kalkü­le

Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axio­matische System der Geo­metrie von Euklid vorge­schlagen.[9] Ausge­hend von einer Menge grundle­gender Postu­late (sog. ‘Axi­ome’) können in diesem System Schluss­folge­rungen gezo­gen werden, um formal (d.h. nur mittels logi­scher Deduk­tion) Theore­me über geo­metri­sche Objek­te und deren Eigen­schaften und Rela­tionen zu bewei­sen. Die Diskus­sion dieses Ansat­zes insbe­sonde­re über die Unab­hängig­keit der fünf Grund­postu­late hat tatsäch­lich in der Folge zu verschie­denen Vari­anten solcher geo­metri­scher Kalkü­le geführt, die den Bereich der synthe­tischen Geo­metrie bilden.[10]

Im 17. Jhd. entwickelte Descartes ([Des­cartes 1637a]Descartes, René (1637).
La géométrie. Leiden: Jan Maire, Anhang des ‘Discours de la méthode’.

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) einen alter­nati­ven, auf alge­braischen Formeln beru­henden Forma­lismus – Orte werden durch Zahlen beschrie­ben, die deren Entfer­nungen zu einem Ursprungs­punkt rela­tiv zu Koordi­naten­achsen enko­dieren (karte­sische Koordi­naten). Von dieser ana­lyti­schen Geo­metrie, die letztlich zu den heute zumin­dest im techni­schen Bereich meist verwen­deten Vektor­kalkü­len des Raumes geführt hat, konnte formal bewie­sen werden ([Hilbert 1899a]Hilbert, David (1899).
Grundlagen der Geometrie. Leipzig: Teubner.

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), dass sie vollkom­men äqui­valent zu Euklids Kalkül ist.[11]

Alle geometrischen Objekte werden wesent­lich betrach­tet als Mengen indi­vidu­eller Orte, genannt ‘Punkte’, die, wie Euklid sich ausdrück­te, das sind, „was keine Teile hat“. Punkte können in einer oder mehre­ren Dimen­sionen orga­nisiert sein – abhän­gig von der Menge der unab­hängi­gen (‘ortho­gona­len’) Koordi­naten­achsen, die mit den Haupt­richtun­gen asso­ziiert sind. Jede Achse orga­nisiert die Punkte zudem gemäß den reellen Zahlen. Daher sind die Eukli­dischen Punkte notwen­dig in einem Konti­nuum ange­ordnet.

Mit den Regeln des Geometriekalküls werden räumli­che Homo­geni­tät (Inva­rianz gegen­über Transla­tion des Koordi­naten­ursprungs) und Iso­tropie (Inva­rianz gegen­über Rota­tion der Koordi­naten­achsen) erreicht, die letztlich die Basis bilden für die syntak­tische Dichte des Bild­raumes. Aller­dings führt die übli­che eukli­dische Forma­lisie­rung der Geo­metrie auch zu der uner­wünschten Folge, dass die grund­legen­den Pixe­me notwen­dig unaus­gedehn­te Punkte sind – ein hoch­abstrak­ter, von der Erfah­rung weit entfern­ter Begriff also. Jede ausge­dehnte Region – und damit letztlich auch jedes Pixem – muss dann aus einer unend­lich großen Menge ele­menta­rer geo­metri­scher Objek­te beste­hen, ganz im Gegen­satz zur Gestalt-Konzep­tion der (Raum-)Wahrneh­mung.

Mereogeometrische Kalküle

Einige Nichtstandard-Kalküle des Raumes liefern einen inte­ressan­ten Ausweg aus diesem Dilem­ma: Mereo­geome­trien sind das Ergeb­nis eines forma­len Ansat­zes zur Geo­metrie, die im Wesent­lichen im 20. Jhd. entwi­ckelt wurden, und die versu­chen, den funda­menta­len kogni­tiven Prinzi­pien gerecht zu werden. Wenn ein Punkt, wie Euklid dachte, das sein soll, „was keine Teile hat“, dann sollten Teil-Ganzes-Bezie­hungen offen­sichtlich als zentra­le Ele­mente der Geo­metrie betrach­tet werden. Zumin­dest für eine Begrün­dung des Bild­raumes wären zudem geo­metri­sche Enti­täten mit Teilen die natür­liche­ren Kandi­daten für die logi­schen Grund­bau­steine geo­metri­scher Kalkü­le.

Im Gegensatz zu den Geometriekal­külen im Stile Euklids ist die Fami­lie der mereo­geome­trischen Kalkü­le auf dem Begriff einer Region aufge­baut, einer ausge­dehnten Einheit, die unter­scheidba­re echte Teile haben mag oder auch nicht. Diese Regi­onen werden in der Mereo­geome­trie oft auch ‘Indi­viduen’ genannt, da sie als un­hinter­gehba­re Grund­ele­mente des Kalküls gelten.[12] Sie haben keine unmit­telba­ren Form- oder Posi­tions­eigen­schaften:[13] Ledig­lich die Bezie­hungen zu ande­ren Indi­viduen, die insbe­sonde­re ihre Teile sein können oder von denen sie ein Teil sind, bestim­men Form, Ausdeh­nung und rela­tive Lage: Die Form etwa ist deter­miniert durch die Rela­tionen zwischen den Teil­regi­onen eines Gebiets.

Während in Euklidischen Geometrien zunächst die unend­lich große Menge des Konti­nuums von Ko­ordi­naten einge­führt wird, die die poten­tiellen Punkte bestim­men, von denen eini­ge dann als rele­vant ausge­wählt werden (in aller Regel sind das für praktisch bedeut­same Fälle immer noch unend­lich viele), begin­nen mereo­geome­trische Kalkü­le mit einer (für gewöhn­lich endli­chen) Anzahl rele­vanter Regi­onen (‘Indi­viduen’).[14] Ein solches Indi­viduum kann man sich – den wahr­nehmungs­psycho­logi­schen Prinzi­pien der Gestalt­schule folgend – sehr wohl auch als eine visu­elle Gestalt vorstel­len: Man muss zunächst das wahr­genom­mene Ganze betrach­ten und sollte die Begrif­fe der perzep­tuellen “Ato­me” erst danach als Instru­mente zum Erklä­ren der Gestal­ten einfü­hren, nicht umge­kehrt. Schließlich sehen Menschen – und das gilt ins­beson­dere auch für die Bildwahr­nehmung – keine unend­lich großen Mengen null-dimen­siona­ler Punkte, sondern ausge­dehnte Gestal­ten. Der abstrak­te Begriff einer räumli­chen Einheit ohne Ausdeh­nung ist sekun­där und zu dem Zweck konstru­iert, eini­ge Aspek­te des Er­fahrungs­raums zu erläu­tern, während er an ande­rer Stelle zu ernst­haften Proble­men führt.

Da Raum traditionell durch Punkt-basier­te Geo­metrie­kalkü­le be­griffen wurde, ist immer­hin zu bemer­ken, dass die Eigen­schaften des Eukli­dischen Raumes (d.h. des durch Eukli­dische Kalkü­le beschrie­benen Raum­konzepts) im Großen und Ganzen durchaus zu unse­ren allge­meinen Vor­stellun­gen von Raum passen. Daher sollte es auch nicht über­raschen, dass die meisten mereo­geomet­rischen Kalkü­le zu Syste­men führen, die dem Eukli­dischen Raum äqui­valent sind (vgl. [Borgo & Maso­lo 2010a]Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010).
Full Mereogeometries. In The Review of Symbolic Logic, 3, 4, 521 - 567.

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). Diese Tatsa­che verdeut­licht, dass unse­re Kogni­tionen von Raum ziemlich stabil und praktisch sind und nicht von der Wahl der geome­trischen Primi­tive abhän­gen. Tatsäch­lich geht es auch nicht darum, ledig­lich die Eigen­arten des Alltags­begriffs von Raum abzu­decken. Die Pointe liegt vielmehr darin zu erläu­tern, wie wir diesen spezi­fischen Begriff von Raum kogni­tiv errei­chen. Die primä­re Frage, die Mereo­geome­trien aus dieser Perspek­tive zu beant­worten suchen, ist daher, welche Primi­tive auf ausge­dehnte Objek­te anwend­bar sind, die ausdrucks­stark genug sind, den Alltags­begriff von Raum zu entfal­ten.


Geometriekalküle und bild­morpho­logi­sche Struktu­ren

Die Forschung zu mereo­geomet­rischen Kalkü­len stützt in der Tat einen irri­tieren­den bild­morpho­logi­schen Befund: das Fehlen von Ein­schränkun­gen für die Wahl der morpho­logi­schen Primi­tive. In beiden Berei­chen (Mereo­geome­trie und Bildmor­pholo­gie) kommt man leicht zu äqui­valen­ten Forma­lismen, obwohl man von ganz unter­schiedli­chen Voraus­setzun­gen ausge­gangen ist. Daher darf die Wahl der Primi­tive nicht nur von rein forma­len Eigen­schaften abhän­gen, sondern muss von Argu­menten und Beobach­tungen aus ande­ren, insbe­sonde­re kogni­tiven, evo­luti­onä­ren, menta­len und wahr­nehmungs­psycho­logi­schen Per­spek­tiven unter­stützt werden. Die Entwick­lung der geo­metri­schen Kalkü­le bis hin zu den Mereo­geo­metrien führt zu geo­metri­schen Ansät­zen, die, indem sie unter­schiedli­che Primi­tive ausnut­zen, ganz zwanglos verschie­dene forma­le Syste­me mit äqui­valen­ter Ausdrucks­stärke hervor­bringen. Einer­seits führt die Suche nach der Grund­legung von Pixe­men (als Primi­tive wie als Proto­typen) direkt zu einer Debat­te, die der Diskus­sion über die funda­menta­len geo­metri­schen Enti­täten entspricht. Ande­rerseits legt der Wunsch, mit einem Com­puter­programm komple­xe Bilder zu erzeu­gen oder zu verste­hen, (zumindest in der Theorie) die Exis­tenz einer begrenz­ten Zahl von Basis­pixe­men nahe, die in einem forma­len Kalkül bei beschränk­ter Komple­xität belie­big kombi­nierbar sein sollen (⊳ Bild­verar­beitung, digi­tale).[15]

Pixeme als geometrische Enti­täten

Im Kontext der morphologischen Struktur von Bildern beschreibt der geo­metri­sche Kalkül, wie wir (rati­onal) über die Basis­struktur der Bild­ebene und den darin enthal­tenen Pixe­men reden. Eine Basis­struktur, die den Regeln, wie sie vom Kalkül vorge­schrieben sind, nicht erfüllt, führt zu syntak­tisch unkor­rekten Bildern. Mit einem punkt-basier­ten Kalkül werden Pixe­me verstan­den als (unend­liche) Mengen von Punkten, die durch Gestalt-orga­nisie­rende Prozes­se auf den visu­ellen Marker­werten (⊳ Farbe als bild­syntak­tische Kate­gorie) bestimmt sind. Die unend­lich vielen Punkte, die jedes Pixem enthält, sind letzt­lich Orte, die ledig­lich poten­tiell von Interes­se sein könnten: Sie mögen morpho­logisch rele­vant werden, wenn man den gera­de betrach­teten Bild­träger mit einem ande­ren Bild­träger vergleicht. Entspre­chend kommt in Eukli­dischen Kalkü­len ein Begriff der Auflö­sung nicht vor: Der hypo­theti­sche Auf­lösungs­faktor ist hier immer unend­lich – entspre­chend einer Gottes­perspek­tive auf Raum.

Bei einem mereo­geometri­schen Kalkül sind Pixe­me “Indi­viduen”, also primi­tive Enti­täten des Kalküls. Wenn wir davon ausge­hen, dass die Gestalt-Prinzi­pien, die visu­elles Wahrneh­men orga­nisie­ren, genau solche Regi­onen bestim­men, die syntak­tisch rele­vant sind, können diese Pixe­me also ganz zwang­los als etwas in der Wahrneh­mung Gege­benes aufge­fasst werden. Es besteht keine Not­wendig­keit, weite­re Punkte zu betrach­ten.

Punkte, Auflösung und Mikros­kopie­rung

Während Mereogeomet­rien mit reinem Raum beschäf­tigt sind, muss Bild­morpho­logie weite­re Fakto­ren berück­sichti­gen, wie »Granu­lari­tät« (welche sehr grund­legen­de Eigen­schaften, wie Kontakt zwischen Enti­täten, und damit die Topo­logie an sich, beein­flusst). In der Tat kann in der Mereo­geome­trie der Begriff einer kleinsten Region durchaus einge­führt werden: Sie werden in den Kalkü­len für gewöhn­lich ‘Punkte’ genannt, könnten aber ebenso gut als ‘Pixel’ bezeich­net werden. Ein solcher Punkt, der sich offen­sichtlich deutlich vom Eukli­dischen Punkt­begriff unter­scheidet, ist im wesent­lichen defi­niert über eine Region, die keine echte Teil­region im Kalkül aufweist (d.h.: es werden keine solchen Teile betrach­tet!).[16] Wenn der Begriff »Punkt« auf mereo­geo­metri­sche Weise einge­führt wird, ist es bei der Betrach­tung eines konkre­ten Falles – bei Betrach­tung eines endli­chen Raum­bereichs – nicht not­wendig, unend­lich viele solcher Punkt-Regi­onen zu berück­sichti­gen. Ledig­lich “rele­vante” Punkte müssen instan­tiiert werden. Das bedeu­tet zugleich, dass ein solcher Kalkül den Raum stets mit endli­cher Auf­lösung erfasst. Aller­dings haben N. Asher & L. Vieu ([Asher & Vieu 1995a]Asher, Nicholas & Vieu, Laure: (1995).
Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology.
In IJCAI-95, 846–852.

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) durch eine moda­le Erwei­terung ihres mereo­geo­metri­schen Kalküls einen ‘Mikro­skopie­rung’ genann­ten forma­len Mecha­nismus vorge­schlagen, der eine Art Zooming-Ope­ration darstellt: Was auf einer Be­trachtungs­ebene ein Punkt ist, kann dann auf einer ande­ren, mikro­sko­pierten Betrach­tungs­ebene eine zu­sammen­gesetz­te Region sein, die aus mehre­ren (rele­vanten) Punkten besteht.

Die leere Bildfläche und Maximal­pixe­me

Im Gegensatz zu den Räumen der Standard­geomet­rien ist der Bild­raum stets nach außen beschränkt: Die Bild­ebe­ne besteht aus einem einzi­gen Maxi­mal­pixem, das kein Teil eines ande­ren Pixems des Bildes ist – Fernan­de Saint-Martin verwen­det hierfür den Ausdruck ‘basic pic­ture plane’ ([Saint-Martin 1987a]Saint-Martin, Fernande (1987).
Sémiologie du langage visuel. Montréal: Presses de l’Université du Quebec, Englisch: Semiotics of Visual Language. Bloomington, Indianapolis: Indiana University Press..

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).[17] Die für mereo­geo­metri­sche Kalkü­le zentra­le Unter­scheidung des abge­schlosse­nen, d.h. seine Grenze mit umfas­senden Indi­viduums gegen­über dem Teil­indi­viduum, das dem Erste­ren ganz entspricht ohne aber die Grenze selbst zu bein­halten, liefert einen un­mittel­baren Ansatz für die Unter­scheidung des Rahmens vom eigent­lichen Bild (⊳ Rahmung, Rahmen).
Ab­bil­dung 1: Recht­ecki­ges Ma­xi­mal­pi­xem mit “ener­ge­ti­schem Phä­no­men” nach Saint-Mar­tin
Wird die üb­li­che recht­ecki­ge Grund­form der Bild­flä­che ge­wählt, er­ge­ben sich bei me­reo­geo­met­ri­scher Be­trach­tung zu­dem ins­be­son­de­re vier In­di­vi­du­en, die als (me­reo­geo­met­ri­sche) Punk­te zu be­trach­ten sind: die vier Ecken. Da­bei dürf­te die “ener­ge­ti­sche Auf­la­dung” der Eck­re­gi­o­nen, auf die et­wa Saint-Mar­tin in ih­rer bild­mor­pho­lo­gi­schen Ab­hand­lung hin­weist (s. Abb. 1), mit der Kon­struk­ti­on des Punkt­kon­zep­tes in­ner­halb der meis­ten me­reo­geo­met­ri­schen Kal­kü­le zu­sam­men­hän­gen: Im me­reo­geo­met­ri­schen Kal­kül von Tars­ki et­wa wer­den Punk­te als Klas­se al­ler im Kal­kül be­trach­te­ten kon­zen­tri­schen Krei­se ein­ge­führt ([Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929).
Les fondement de la géometrie des corps. Cracovie: Société polonaise de mathématique, Erweiterte Fassung in Tarksi: Logique, Sémantique, Métamathématique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.

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). Für jede Ecke einer recht­ecki­gen Bild­fläche müssen in einer Beschrei­bung also entspre­chende Kreis­indi­viduen instan­ziiert werden – ihre in der Bild­fläche liegen­den Teile entspre­chen den Energie­linien Saint-Martins.


Weitere Aspekte

Bildsemantische Aspekte der Geo­metrie

Die in geometrischen Kalkülen gefassten Raum­konzep­te spielen natür­lich auch eine wichti­ge Rolle in der Bild­seman­tik: Die Pro­jek­tion einer drei­dimen­siona­len Szene auf eine zwei­dimen­siona­le Bild­fläche gehorcht Regeln, die sich insb­esonde­re (wenn auch nicht aus­schließlich) aus den Kalkü­len der projek­tiven Geo­metrien erge­ben. Auf diese Zu­sammen­hänge wird im Lemma ⊳ Perspek­tive und Projek­tion näher einge­gangen.

Zeit als Raum

Physikalisch wird auch die zeitliche Er­streckung und Anord­nung als weite­re (vierte) geo­metri­sche Dimen­sion gefasst. Dies spielt in der Bild­philo­sophie entspre­chend bei Film, Video, Fernse­hen und ande­ren Bewegt­bild­forma­ten eine Rolle. Im strengen physi­kali­schen Sinne wird aller­dings die zeitli­che “Raum­richtung” von den räumli­chen Dimen­sionen oft dadurch hervor­geho­ben, dass sie als ima­ginä­re Achse eines vier­dimen­siona­len komple­xen Vektor­raumes ange­setzt wird, oder umge­kehrt die eigent­lichen Raum­antei­le als ima­ginä­re Dimen­sionen die Zeit als einzi­ge reell­werti­ge Dimen­sion ergän­zen (sog. ‘Quater­nionen’).[18] Auch in der Com­pu­ter­gra­phik werden solche Quater­nionen zur Berech­nung von Trans­forma­tionen von 3D-Model­len verwen­det. Insbe­sonde­re Drehun­gen im Raum lassen sich auf diese Weise beson­ders einfach formal behan­deln.

Anmerkungen
  1. Als lo­gi­sche Vo­r­aus­set­zung der Wahr­neh­mung – d.h. als ih­re „Be­din­gung der Mög­lich­keit“ – sind rei­ne An­schau­un­gen nicht selbst wahr­nehm­bar ([Kant 1968a]Kant, Immanuel (1968).
    Kritik der reinen Vernunft. Berlin: de Gruyter, A: 1781, B: 1787.

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    : B 33-36).
  2. Da­mit wird nicht be­haup­tet, dass je­ne Kal­kü­le aus­reich­ten, wenn es um se­man­ti­sche oder prag­ma­ti­sche As­pek­te geht; ⊳ The­o­ri­en des Bild­raums.
  3. Vgl. auch Wi­ki­pe­di­a: To­po­lo­gie (Ma­the­ma­tik).
  4. Vgl. auch Wi­ki­pe­di­a: Met­ri­scher Raum.
  5. Vgl. auch Wi­ki­pe­di­a: Pro­jek­ti­ve Geo­me­trie.
  6. Ge­nau­er ge­sagt: Ei­ne sol­che Be­schrei­bung be­steht aus Äu­ße­run­gen, die Pro­po­si­ti­o­nen mit ei­ner Prä­di­ka­ti­on ver­wen­den, die sich auf ei­nen geo­me­tri­schen Be­griff be­zieht, der durch den Kal­kül fest­ge­legt ist.
  7. D.h.: »geo­me­trisch sein« als sol­ches im­pli­ziert nicht not­wen­dig schon  »räum­lich sein«.
  8. Bei­spiels­wei­se die Re­geln, die geo­me­tri­sche Be­grif­fe mit­ein­an­der in Be­zie­hung set­zen, wie et­wa dass »links« das In­ver­se zu »rechts« sei oder dass »in« un­ter ge­wis­sen Vo­raus­set­zun­gen ei­ne tran­si­ti­ve Re­la­ti­on sei, kön­nen als Mit­tel­ter­me in räum­li­chen Syl­lo­gis­men ver­wen­det wer­den, die ver­schie­de­ne Pro­po­si­ti­o­nen über geo­me­tri­sche En­ti­tä­ten mit­ein­an­der ver­bin­den. Vgl. hier­zu aber auch die über die rei­ne Geo­me­trie hi­n­aus­ge­hen­den An­tei­le an sol­chen Schluss­pro­zes­sen, wie sie ins­be­son­de­re in [Hers­ko­vits 1986a]Herskovits, Annette (1986).
    Language and Cognition – An Interdisciplinary Study of the Prepositions in English. Cambridge: Cambridge Univ. Press.

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    oder [Aur­na­gue & Vieu 1993a]Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993).
    A Three-Level Approach to the Semantics of Space.
    In The Semantics of Prepositions – From Mental Processing to Natural Language Processing, 393–439.

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    be­grün­det wer­den, und die Kopp­lung die­ser Über­le­gun­gen mit be­griffs­ge­ne­ti­schen Ar­gu­men­ta­ti­o­nen in [Schir­ra 1994a]Schirra, Jörg R.J. (1994).
    Bildbeschreibung als Verbindung von visuellem und sprachlichem Raum. St. Augustin: DISKI.

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    : vor al­lem Kap. 5.
  9. Vgl. auch Wi­ki­pe­dia: Eu­kli­di­sche Geo­me­trie.
  10. Vgl. Wi­ki­pe­dia: Syn­the­ti­sche Geo­me­trie. Vor allem das “fünfte Axiom”, wie es meist genannt wird, das sich mit dem Begriff der Paral­leli­tät befasst, erwies sich als sehr fruchtbar, obwohl die klassi­schen Nicht-Eukli­dischen Kalkü­le, die daraus entstan­den, in der Regel für Bild­syntax wenig rele­vant sind; vgl. Wi­ki­pe­dia: Pa­ral­le­len­axi­om.
  11. Vgl. auch Wi­ki­pe­dia: Ana­ly­ti­sche Geo­met­rie.
  12. Me­reo­geo­me­tri­sche Re­gi­o­nen kön­nen als für den me­reo­geo­met­ri­schen Kal­kül un­teil­bar (‘in-di­vi­du­um’) gel­ten, ob­wohl sie in Teil-Gan­zes-Be­zie­hun­gen ein­ge­hen und da­her an­de­re Re­gi­o­nen als Tei­le ha­ben kön­nen, weil ih­re Ei­gen­schaf­ten nicht auf die Kom­po­si­ti­on aus zu­grun­de lie­gen­den Ele­men­ten zu­rück­ge­führt wird.
  13. Aus­nah­men be­le­gen hier die Re­gel: In ei­ni­gen Va­ri­an­ten wer­den et­wa nur kreis­för­mi­ge Re­gi­o­nen be­trach­tet ([Tars­ki 1929a]Tarski, Alfred (1929).
    Les fondement de la géometrie des corps. Cracovie: Société polonaise de mathématique, Erweiterte Fassung in Tarksi: Logique, Sémantique, Métamathématique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.

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    ).
  14. Ein aus­führ­li­che­res Bei­spiel ei­nes me­reo­geo­me­tri­schen Kal­küls fin­det sich in Ex­kurs: Me­reo­geo­met­rien.
  15. Na­tür­lich um­fasst die Bild­mor­pho­lo­gie we­sent­lich mehr als die­se Frage; vgl. ins­be­son­de­re [Good­man 1968a]Goodman, Nelson (1968, 2. rev. Aufl. 1976).
    Languages of Art. Indianapolis: Hackett, dt.: Sprachen der Kunst. Suhrkamp 1998.

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    .
  16. Der me­reo­geo­met­ri­sche Punkt ist in der Re­gel nicht iden­tisch mit der mi­ni­ma­len Re­gi­on selbst, son­dern wird als Klas­se über al­le In­di­vi­du­en/Re­gi­o­nen de­fi­niert, an de­nen er Teil hat.
  17. Na­tür­lich wird die­ses Ma­xi­mal­pi­xem trotz­dem im­mer auch als Teil sei­ner je­wei­li­gen räum­li­chen Um­ge­bung – sei­nes Kon­texts – wahr­ge­nom­men.
  18. Vgl. Wi­ki­pe­dia: Qua­ter­ni­o­nen.
Literatur                             [Sammlung]

[Asher & Vieu 1995a]: Asher, Nicholas & Vieu, Laure: (1995). Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology. IJCAI-95. , S. 846–852.

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Hilfe: Nicht angezeigte Literaturangaben

Ausgabe 1: 2013

Lektorat:

Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra [50], Tobias Schöttler [7] und Emilia Didier [1] — (Hinweis)