Raum und Geometrie

Unterpunkt zu: Bildsyntax

English Version: Space and Geometry

---

Raum als Grundkategorie der Bild­morpho­logie Die Menge der syntaktischen Komponenten wahrneh­mungsna­her Zeichen kann im Prinzip in zwei Gruppen aufge­teilt werden: Einer­seits gibt es eine abstrak­te rela­tiona­le Basis­struktur. Sie spannt meist mehre­re koordi­nierte Dimen­sionen auf, in welche die Ele­mente der zweiten Gruppe einge­ordnet werden können. Letzte­re bilden Syste­me perzep­tueller Marker­werte, die es über­haupt erst erlau­ben, die zugrun­de liegen­de Basis­struktur wahrneh­men zu können. In den Worten Kants formt die Basis­struktur eine reine Anschau­ung. Bei Bildern ist die Basis­struktur der zwei­dimen­siona­le Raum, wohin­gegen die Marker­werte im Wesent­lichen aus Farben und Textu­ren beste­hen, die die rein räumli­che Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen. Die Regeln, die unser Sprechen über Raum orga­nisie­ren (zumin­dest sofern dieses Sprechen als ratio­nal kontrol­liert verstan­den wird), sind mindes­tens schon seit der neoli­thischen Revo­lution mit der Einfüh­rung von Archi­tektur, Acker­bau und den dazu benö­tigten auf­einan­der abge­stimmten räumli­chen Akti­vitä­ten im Fokus der Aufmerk­samkeit. Heute beeinflus­sen vor allem die Kalkü­lisie­rung der Geo­metrie im anti­ken Griechen­land und ihre alge­braische Refor­mulie­rung im 16. Jhd. die Konzep­tion des reinen Raums, der auch der Bild­syntax zugrun­de liegt. Geometrische Kalküle als Forma­lisie­rung von Raum Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genom­men eine Menge von Regeln, die zu­aller­erst die Möglich­keiten festle­gen, über soge­nannte geo­metri­sche Enti­täten ganz im Abstrak­ten – d.h. ohne Bezug auf Konkre­ta mit kontin­genten nicht-geo­metri­schen Eigen­heiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begriff­lichen Bestim­mungen einer Menge räumli­cher Begrif­fe. Die Begrif­fe für ele­menta­re geo­metri­sche Enti­täten werden im Wesent­lichen durch die Rela­tionen bestimmt, in die sie mit­einan­der eintre­ten können. Diese werden übli­cherwei­se unter­teilt in Bezie­hungen von Kontakt und Nachbar­schaft (topo­logi­sche Rela­tionen), Bezie­hungen, die Abstand und Ausdeh­nung betref­fen (metri­sche Rela­tionen) und Bezie­hungen hinsicht­lich Richtung und Orien­tierung (direk­tiona­le oder projek­tive Rela­tionen). Über geometrische Begriffe zu verfü­gen hat vor allem drei Auswir­kungen: Der ontologische Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlau­ben, etwas als räumlich zu beschrei­ben. Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verste­hen, d.h. als eine geo­metri­sche Enti­tät, bedeu­tet, es als ein rein räumli­ches Etwas zu begrei­fen – unab­hängig von allen ande­ren Charak­teri­sierun­gen, die eben­falls zutref­fen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein). Kurz gesagt: Die Welt erscheint räumlich orga­nisiert, wenn wir ihre Teile mithil­fe geo­metri­scher Begrif­fe unter­scheiden. Der epistemologische Aspekt beinhal­tet (u.a.), dass die Gestal­ten, die in Beschrei­bungen visu­ellen Wahrneh­mens vorkom­men, als geo­metri­sche (und daher: räumli­che) Enti­täten verstan­den werden können. Das heißt, der Kalkül forma­lisiert einen abstrak­ten Teil unse­res Verständ­nisses von der visu­ellen Wahr­nehmung (auch ⊳ Gegen­stand der visu­ellen Wahr­nehmung): Kurz gesagt: Wir sehen die Welt als räumlich orga­nisiert. Der argumentative Aspekt bedeutet schließ­lich, dass die Regeln des Kalküls ange­ben, wie eine gege­bene Beschrei­bung räumli­cher Gegen­stände umge­formt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschrei­bung zu verän­dern: Diese Umfor­mungen werden meist unter der Bezeich­nung ‘räumli­ches Schließen’ zusam­menge­fasst: Kurz gesagt: Wenn wir rati­onal über Räumli­ches disku­tieren, verwen­den wir die Kalkül-Regeln für geo­metri­sche Begrif­fe. Der Standardansatz zu geometri­schen Kalkü­len ist (1) Euklids axio­mati­sches System, das auf dem Begriff eines unaus­gedehn­ten aber eindeu­tig loka­lisier­ten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist aller­dings ziemlich abstrakt und verhält­nismä­ßig weit entfernt von der konkre­ten Erfah­rung mit Raum. (2) Eine Fami­lie von Non-Standard-Geo­metrie­kalkü­len, die im Wesent­lichen erst im 20. Jhd. ent­wickelt wurde und kogni­tiven Prinzi­pien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Forma­lisie­rung von Geo­metrie ohne dieses Problem und mit inte­ressan­ten Eigen­schaften für die Bild­morpho­logie: Mereo­geome­trien. Euklidische Geometrie­kalkü­le Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axio­matische System der Geo­metrie von Euklid vorge­schlagen. Ausge­hend von einer Menge grundle­gender Postu­late (sog. ‘Axi­ome’) können in diesem System Schluss­folge­rungen gezo­gen werden, um formal (d.h. nur mittels logi­scher Deduk­tion) Theore­me über geo­metri­sche Objek­te und deren Eigen­schaften und Rela­tionen zu bewei­sen. Die Diskus­sion dieses Ansat­zes insbe­sonde­re über die Unab­hängig­keit der fünf Grund­postu­late hat tatsäch­lich in der Folge zu verschie­denen Vari­anten solcher geo­metri­scher Kalkü­le geführt, die den Bereich der synthe­tischen Geo­metrie bilden. Im 17. Jhd. entwickelte Descartes ([Des­cartes 1637a]) einen alter­nati­ven, auf alge­braischen Formeln beru­henden Forma­lismus – Orte werden durch Zahlen beschrie­ben, die deren Entfer­nungen zu einem Ursprungs­punkt rela­tiv zu Koordi­naten­achsen enko­dieren (karte­sische Koordi­naten). Von dieser ana­lyti­schen Geo­metrie, die letztlich zu den heute zumin­dest im techni­schen Bereich meist verwen­deten Vektor­kalkü­len des Raumes geführt hat, konnte formal bewie­sen werden ([Hilbert 1899a]), dass sie vollkom­men äqui­valent zu Euklids Kalkül ist. Alle geometrischen Objekte werden wesent­lich betrach­tet als Mengen indi­vidu­eller Orte, genannt ‘Punkte’, die, wie Euklid sich ausdrück­te, das sind, „was keine Teile hat“. Punkte können in einer oder mehre­ren Dimen­sionen orga­nisiert sein – abhän­gig von der Menge der unab­hängi­gen (‘ortho­gona­len’) Koordi­naten­achsen, die mit den Haupt­richtun­gen asso­ziiert sind. Jede Achse orga­nisiert die Punkte zudem gemäß den reellen Zahlen. Daher sind die Eukli­dischen Punkte notwen­dig in einem Konti­nuum ange­ordnet. Mit den Regeln des Geometriekalküls werden räumli­che Homo­geni­tät (Inva­rianz gegen­über Transla­tion des Koordi­naten­ursprungs) und Iso­tropie (Inva­rianz gegen­über Rota­tion der Koordi­naten­achsen) erreicht, die letztlich die Basis bilden für die syntak­tische Dichte des Bild­raumes. Aller­dings führt die übli­che eukli­dische Forma­lisie­rung der Geo­metrie auch zu der uner­wünschten Folge, dass die grund­legen­den Pixe­me notwen­dig unaus­gedehn­te Punkte sind – ein hoch­abstrak­ter, von der Erfah­rung weit entfern­ter Begriff also. Jede ausge­dehnte Region – und damit letztlich auch jedes Pixem – muss dann aus einer unend­lich großen Menge ele­menta­rer geo­metri­scher Objek­te beste­hen, ganz im Gegen­satz zur Gestalt-Konzep­tion der (Raum-)Wahrneh­mung. Mereogeometrische Kalküle Einige Nichtstandard-Kalküle des Raumes liefern einen inte­ressan­ten Ausweg aus diesem Dilem­ma: Mereo­geome­trien sind das Ergeb­nis eines forma­len Ansat­zes zur Geo­metrie, die im Wesent­lichen im 20. Jhd. entwi­ckelt wurden, und die versu­chen, den funda­menta­len kogni­tiven Prinzi­pien gerecht zu werden. Wenn ein Punkt, wie Euklid dachte, das sein soll, „was keine Teile hat“, dann sollten Teil-Ganzes-Bezie­hungen offen­sichtlich als zentra­le Ele­mente der Geo­metrie betrach­tet werden. Zumin­dest für eine Begrün­dung des Bild­raumes wären zudem geo­metri­sche Enti­täten mit Teilen die natür­liche­ren Kandi­daten für die logi­schen Grund­bau­steine geo­metri­scher Kalkü­le. Im Gegensatz zu den Geometriekal­külen im Stile Euklids ist die Fami­lie der mereo­geome­trischen Kalkü­le auf dem Begriff einer Region aufge­baut, einer ausge­dehnten Einheit, die unter­scheidba­re echte Teile haben mag oder auch nicht. Diese Regi­onen werden in der Mereo­geome­trie oft auch ‘Indi­viduen’ genannt, da sie als un­hinter­gehba­re Grund­ele­mente des Kalküls gelten. Sie haben keine unmit­telba­ren Form- oder Posi­tions­eigen­schaften: Ledig­lich die Bezie­hungen zu ande­ren Indi­viduen, die insbe­sonde­re ihre Teile sein können oder von denen sie ein Teil sind, bestim­men Form, Ausdeh­nung und rela­tive Lage: Die Form etwa ist deter­miniert durch die Rela­tionen zwischen den Teil­regi­onen eines Gebiets. Während in Euklidischen Geometrien zunächst die unend­lich große Menge des Konti­nuums von Ko­ordi­naten einge­führt wird, die die poten­tiellen Punkte bestim­men, von denen eini­ge dann als rele­vant ausge­wählt werden (in aller Regel sind das für praktisch bedeut­same Fälle immer noch unend­lich viele), begin­nen mereo­geome­trische Kalkü­le mit einer (für gewöhn­lich endli­chen) Anzahl rele­vanter Regi­onen (‘Indi­viduen’). Ein solches Indi­viduum kann man sich – den wahr­nehmungs­psycho­logi­schen Prinzi­pien der Gestalt­schule folgend – sehr wohl auch als eine visu­elle Gestalt vorstel­len: Man muss zunächst das wahr­genom­mene Ganze betrach­ten und sollte die Begrif­fe der perzep­tuellen “Ato­me” erst danach als Instru­mente zum Erklä­ren der Gestal­ten einfü­hren, nicht umge­kehrt. Schließlich sehen Menschen – und das gilt ins­beson­dere auch für die Bildwahr­nehmung – keine unend­lich großen Mengen null-dimen­siona­ler Punkte, sondern ausge­dehnte Gestal­ten. Der abstrak­te Begriff einer räumli­chen Einheit ohne Ausdeh­nung ist sekun­där und zu dem Zweck konstru­iert, eini­ge Aspek­te des Er­fahrungs­raums zu erläu­tern, während er an ande­rer Stelle zu ernst­haften Proble­men führt. Da Raum traditionell durch Punkt-basier­te Geo­metrie­kalkü­le be­griffen wurde, ist immer­hin zu bemer­ken, dass die Eigen­schaften des Eukli­dischen Raumes (d.h. des durch Eukli­dische Kalkü­le beschrie­benen Raum­konzepts) im Großen und Ganzen durchaus zu unse­ren allge­meinen Vor­stellun­gen von Raum passen. Daher sollte es auch nicht über­raschen, dass die meisten mereo­geomet­rischen Kalkü­le zu Syste­men führen, die dem Eukli­dischen Raum äqui­valent sind (vgl. [Borgo & Maso­lo 2010a]). Diese Tatsa­che verdeut­licht, dass unse­re Kogni­tionen von Raum ziemlich stabil und praktisch sind und nicht von der Wahl der geome­trischen Primi­tive abhän­gen. Tatsäch­lich geht es auch nicht darum, ledig­lich die Eigen­arten des Alltags­begriffs von Raum abzu­decken. Die Pointe liegt vielmehr darin zu erläu­tern, wie wir diesen spezi­fischen Begriff von Raum kogni­tiv errei­chen. Die primä­re Frage, die Mereo­geome­trien aus dieser Perspek­tive zu beant­worten suchen, ist daher, welche Primi­tive auf ausge­dehnte Objek­te anwend­bar sind, die ausdrucks­stark genug sind, den Alltags­begriff von Raum zu entfal­ten. Geometriekalküle und bild­morpho­logi­sche Struktu­ren Die Forschung zu mereo­geomet­rischen Kalkü­len stützt in der Tat einen irri­tieren­den bild­morpho­logi­schen Befund: das Fehlen von Ein­schränkun­gen für die Wahl der morpho­logi­schen Primi­tive. In beiden Berei­chen (Mereo­geome­trie und Bildmor­pholo­gie) kommt man leicht zu äqui­valen­ten Forma­lismen, obwohl man von ganz unter­schiedli­chen Voraus­setzun­gen ausge­gangen ist. Daher darf die Wahl der Primi­tive nicht nur von rein forma­len Eigen­schaften abhän­gen, sondern muss von Argu­menten und Beobach­tungen aus ande­ren, insbe­sonde­re kogni­tiven, evo­luti­onä­ren, menta­len und wahr­nehmungs­psycho­logi­schen Per­spek­tiven unter­stützt werden. Die Entwick­lung der geo­metri­schen Kalkü­le bis hin zu den Mereo­geo­metrien führt zu geo­metri­schen Ansät­zen, die, indem sie unter­schiedli­che Primi­tive ausnut­zen, ganz zwanglos verschie­dene forma­le Syste­me mit äqui­valen­ter Ausdrucks­stärke hervor­bringen. Einer­seits führt die Suche nach der Grund­legung von Pixe­men (als Primi­tive wie als Proto­typen) direkt zu einer Debat­te, die der Diskus­sion über die funda­menta­len geo­metri­schen Enti­täten entspricht. Ande­rerseits legt der Wunsch, mit einem Com­puter­programm komple­xe Bilder zu erzeu­gen oder zu verste­hen, (zumindest in der Theorie) die Exis­tenz einer begrenz­ten Zahl von Basis­pixe­men nahe, die in einem forma­len Kalkül bei beschränk­ter Komple­xität belie­big kombi­nierbar sein sollen (⊳ Bild­verar­beitung, digi­tale). Pixeme als geometrische Enti­täten Im Kontext der morphologischen Struktur von Bildern beschreibt der geo­metri­sche Kalkül, wie wir (rati­onal) über die Basis­struktur der Bild­ebene und den darin enthal­tenen Pixe­men reden. Eine Basis­struktur, die den Regeln, wie sie vom Kalkül vorge­schrieben sind, nicht erfüllt, führt zu syntak­tisch unkor­rekten Bildern. Mit einem punkt-basier­ten Kalkül werden Pixe­me verstan­den als (unend­liche) Mengen von Punkten, die durch Gestalt-orga­nisie­rende Prozes­se auf den visu­ellen Marker­werten (⊳ Farbe als bild­syntak­tische Kate­gorie) bestimmt sind. Die unend­lich vielen Punkte, die jedes Pixem enthält, sind letzt­lich Orte, die ledig­lich poten­tiell von Interes­se sein könnten: Sie mögen morpho­logisch rele­vant werden, wenn man den gera­de betrach­teten Bild­träger mit einem ande­ren Bild­träger vergleicht. Entspre­chend kommt in Eukli­dischen Kalkü­len ein Begriff der Auflö­sung nicht vor: Der hypo­theti­sche Auf­lösungs­faktor ist hier immer unend­lich – entspre­chend einer Gottes­perspek­tive auf Raum. Bei einem mereo­geometri­schen Kalkül sind Pixe­me “Indi­viduen”, also primi­tive Enti­täten des Kalküls. Wenn wir davon ausge­hen, dass die Gestalt-Prinzi­pien, die visu­elles Wahrneh­men orga­nisie­ren, genau solche Regi­onen bestim­men, die syntak­tisch rele­vant sind, können diese Pixe­me also ganz zwang­los als etwas in der Wahrneh­mung Gege­benes aufge­fasst werden. Es besteht keine Not­wendig­keit, weite­re Punkte zu betrach­ten. Punkte, Auflösung und Mikros­kopie­rung Während Mereogeomet­rien mit reinem Raum beschäf­tigt sind, muss Bild­morpho­logie weite­re Fakto­ren berück­sichti­gen, wie »Granu­lari­tät« (welche sehr grund­legen­de Eigen­schaften, wie Kontakt zwischen Enti­täten, und damit die Topo­logie an sich, beein­flusst). In der Tat kann in der Mereo­geome­trie der Begriff einer kleinsten Region durchaus einge­führt werden: Sie werden in den Kalkü­len für gewöhn­lich ‘Punkte’ genannt, könnten aber ebenso gut als ‘Pixel’ bezeich­net werden. Ein solcher Punkt, der sich offen­sichtlich deutlich vom Eukli­dischen Punkt­begriff unter­scheidet, ist im wesent­lichen defi­niert über eine Region, die keine echte Teil­region im Kalkül aufweist (d.h.: es werden keine solchen Teile betrach­tet!). Wenn der Begriff »Punkt« auf mereo­geo­metri­sche Weise einge­führt wird, ist es bei der Betrach­tung eines konkre­ten Falles – bei Betrach­tung eines endli­chen Raum­bereichs – nicht not­wendig, unend­lich viele solcher Punkt-Regi­onen zu berück­sichti­gen. Ledig­lich “rele­vante” Punkte müssen instan­tiiert werden. Das bedeu­tet zugleich, dass ein solcher Kalkül den Raum stets mit endli­cher Auf­lösung erfasst. Aller­dings haben N. Asher & L. Vieu ([Asher & Vieu 1995a]) durch eine moda­le Erwei­terung ihres mereo­geo­metri­schen Kalküls einen ‘Mikro­skopie­rung’ genann­ten forma­len Mecha­nismus vorge­schlagen, der eine Art Zooming-Ope­ration darstellt: Was auf einer Be­trachtungs­ebene ein Punkt ist, kann dann auf einer ande­ren, mikro­sko­pierten Betrach­tungs­ebene eine zu­sammen­gesetz­te Region sein, die aus mehre­ren (rele­vanten) Punkten besteht. Die leere Bildfläche und Maximal­pixe­me Im Gegensatz zu den Räumen der Standard­geomet­rien ist der Bild­raum stets nach außen beschränkt: Die Bild­ebe­ne besteht aus einem einzi­gen Maxi­mal­pixem, das kein Teil eines ande­ren Pixems des Bildes ist – Fernan­de Saint-Martin verwen­det hierfür den Ausdruck ‘basic pic­ture plane’ ([Saint-Martin 1987a]). Die für mereo­geo­metri­sche Kalkü­le zentra­le Unter­scheidung des abge­schlosse­nen, d.h. seine Grenze mit umfas­senden Indi­viduums gegen­über dem Teil­indi­viduum, das dem Erste­ren ganz entspricht ohne aber die Grenze selbst zu bein­halten, liefert einen un­mittel­baren Ansatz für die Unter­scheidung des Rahmens vom eigent­lichen Bild (⊳ Rahmung, Rahmen). Ab­bil­dung 1: Recht­ecki­ges Ma­xi­mal­pi­xem mit “ener­ge­ti­schem Phä­no­men” nach Saint-Mar­tin Wird die üb­li­che recht­ecki­ge Grund­form der Bild­flä­che ge­wählt, er­ge­ben sich bei me­reo­geo­met­ri­scher Be­trach­tung zu­dem ins­be­son­de­re vier In­di­vi­du­en, die als (me­reo­geo­met­ri­sche) Punk­te zu be­trach­ten sind: die vier Ecken. Da­bei dürf­te die “ener­ge­ti­sche Auf­la­dung” der Eck­re­gi­o­nen, auf die et­wa Saint-Mar­tin in ih­rer bild­mor­pho­lo­gi­schen Ab­hand­lung hin­weist (s. Abb. 1), mit der Kon­struk­ti­on des Punkt­kon­zep­tes in­ner­halb der meis­ten me­reo­geo­met­ri­schen Kal­kü­le zu­sam­men­hän­gen: Im me­reo­geo­met­ri­schen Kal­kül von Tars­ki et­wa wer­den Punk­te als Klas­se al­ler im Kal­kül be­trach­te­ten kon­zen­tri­schen Krei­se ein­ge­führt ([Tarski 1929a]). Für jede Ecke einer recht­ecki­gen Bild­fläche müssen in einer Beschrei­bung also entspre­chende Kreis­indi­viduen instan­ziiert werden – ihre in der Bild­fläche liegen­den Teile entspre­chen den Energie­linien Saint-Martins. Weitere Aspekte Bildsemantische Aspekte der Geo­metrie Die in geometrischen Kalkülen gefassten Raum­konzep­te spielen natür­lich auch eine wichti­ge Rolle in der Bild­seman­tik: Die Pro­jek­tion einer drei­dimen­siona­len Szene auf eine zwei­dimen­siona­le Bild­fläche gehorcht Regeln, die sich insb­esonde­re (wenn auch nicht aus­schließlich) aus den Kalkü­len der projek­tiven Geo­metrien erge­ben. Auf diese Zu­sammen­hänge wird im Lemma ⊳ Perspek­tive und Projek­tion näher einge­gangen. Zeit als Raum Physikalisch wird auch die zeitliche Er­streckung und Anord­nung als weite­re (vierte) geo­metri­sche Dimen­sion gefasst. Dies spielt in der Bild­philo­sophie entspre­chend bei Film, Video, Fernse­hen und ande­ren Bewegt­bild­forma­ten eine Rolle. Im strengen physi­kali­schen Sinne wird aller­dings die zeitli­che “Raum­richtung” von den räumli­chen Dimen­sionen oft dadurch hervor­geho­ben, dass sie als ima­ginä­re Achse eines vier­dimen­siona­len komple­xen Vektor­raumes ange­setzt wird, oder umge­kehrt die eigent­lichen Raum­antei­le als ima­ginä­re Dimen­sionen die Zeit als einzi­ge reell­werti­ge Dimen­sion ergän­zen (sog. ‘Quater­nionen’). Auch in der Com­pu­ter­gra­phik werden solche Quater­nionen zur Berech­nung von Trans­forma­tionen von 3D-Model­len verwen­det. Insbe­sonde­re Drehun­gen im Raum lassen sich auf diese Weise beson­ders einfach formal behan­deln. Siehe auch: Ähnlichkeit und wahrnehmungsnahe Zeichen Anschauung Auflösung Bildmorphologie Bildsemantik Bildverarbeitung, digitale Bildwahrnehmung Computergraphik Exkurs:Mereogeometrien Farbe als bildsyntaktische Kategorie Fernsehen Film Gegenstand der visuellen Wahrnehmung Gestalt Kontext Perspektive und Projektion Prädikation Proposition Rahmung, Rahmen Syntaktisch unkorrekte Bilder Syntaktische Dichte Theorien des Bildraums Textur Video Zeichen, Zeichenträger, Zeichensystem

Anmerkungen Literatur                             [Sammlung] [Asher & Vieu 1995a]: Asher, Nicholas & Vieu, Laure (1995). To­ward a Geo­metry of Common Sense: A Seman­tics and a Com­plete Axio­mati­zation of Mereo­topo­logy. IJCAI-95. Morgan Kauf­mann, S. 846–852. [Aur­na­gue & Vieu 1993a]: Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993). A Three-Level Approach to the Seman­tics of Space. In: Zelin­sky-Wibbelt, C. (Hg.): The Seman­tics of Prepo­sitions – From Mental Process­ing to Natu­ral Lan­guage Process­ing. Berlin: Mouton de Gruyter, S. 393–439. [Borgo & Maso­lo 2010a]: Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010). Full Mereo­geome­tries. The Review of Sym­vbolic Logic, Band: 3, Nummer: 4, S. 521 - 567. [Des­cartes 1637a]: Descartes, René (1637). La géo­métrie. Leiden: Jan Maire, Anhang des ‘Dis­cours de la métho­de’. [Good­man 1968a]: Goodman, Nelson (1968). Lan­guages of Art. India­napolis: Hackett, 2. rev. Aufl. 1976. [Hers­ko­vits 1986a]: Herskovits, Annet­te (1986). Lan­guage and Cogni­tion – An Inter­disci­plinary Study of the Prepo­sitions in English. Cam­bridge: Cam­bridge Univ. Press. [Hilbert 1899a]: Hilbert, David (1899). Grund­lagen der Geo­metrie. Leipzig: Teubner. [Kant 1968a]: Kant, Immanuel (1968). Kritik der reinen Vernunft. Berlin: de Gruyter, A: 1781, B: 1787. [Saint-Martin 1987a]: Saint-Martin, Fernan­de (1987). Sémio­logie du lan­gage visuel. Mont­réal: Presses de l’Uni­versi­té du Quebec, Englisch: Semio­tics of Visual Lan­guage. Blooming­ton, India­napolis: India­na Uni­versity Press.. [Schir­ra 1994a]: Schirra, Jörg R.J. (1994). Bildbe­schreibung als Verbin­dung von visu­ellem und sprach­lichem Raum. St. Augus­tin: DISKI. [Tars­ki 1929a]: Tarski, Alfred (1929). Les fonde­ment de la géo­metrie des corps. Cracovie: Socié­té polo­naise de mathé­matique, Erwei­terte Fassung in Tarksi: Lo­gique, Séman­tique, Méta­mathé­matique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34. Hilfe: Nicht angezeigte Literaturangaben Ausgabe 1: 2013 Verantwortlich: Schirra, J.R.J. Borgo, Stefano Lektorat: Schöttler, Tobias Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra [54], Tobias Schöttler [7] und Emilia Didier [1] — (Hinweis) Zitierhinweis: [Schirra & Borgo 2013g-a] Schirra, Jörg R.J. & Borgo, Stefano (2013). Raum und Geometrie / Space and Geometry. (Ausg. 1). In: Schirra, J.R.J.; Halawa, M. & Liebsch, D. (Hg.): Glossar der Bildphilosophie. (2012-2023). Permalink.