Raum und Geometrie: Unterschied zwischen den Versionen

Aus GIB - Glossar der Bildphilosophie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 10: Zeile 10:
 
{{GlossarBoxMain}}
 
{{GlossarBoxMain}}
 
<!--Ende header-->
 
<!--Ende header-->
<!--Ab hier: eigentlicher Inhalt; Überschriften gegebenenfalls anpassen-->
+
<!--Ab hier: eigentlicher Inhalt-->
==Raum als Grundkategorie der Bildmorphologie==
+
==Raum als Grundkategorie der Bild&shy;morpho&shy;logie==
Die Menge der syntaktischen Komponenten [[Ähnlichkeit und wahrnehmungsnahe Zeichen|wahrnehmungsnaher Zeichen]] kann im Prinzip in zwei Gruppen aufgeteilt werden: Einerseits gibt es eine abstrakte relationale ''Basisstruktur''. Sie spannt meist mehrere koordinierte Dimensionen auf, in welche die Elemente der zweiten Gruppe eingeordnet werden können. Letztere bilden Systeme perzeptueller ''Markerwerte'', die es überhaupt erst erlauben, die zugrunde liegende Basisstruktur wahrnehmen zu können. In den Worten Kants formt die Basisstruktur eine ''[[Anschauung|reine Anschauung]]''.<ref>Als logische Voraussetzung der Wahrnehmung – d.h. als ihre „Bedingung der Möglichkeit“ – sind reine Anschauungen nicht selbst wahrnehmbar (<bib id='Kant 1968a'></bib>: B 33-36).</ref> Bei Bildern ist die Basisstruktur der zweidimensionale Raum, wohingegen die Markerwerte im Wesentlichen aus [[Farbe als bildsyntaktische Kategorie|Farben]] und [[Textur]]en bestehen, die die rein räumliche Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen.
+
Die Menge der syntaktischen Komponenten [[Ähnlichkeit und wahrnehmungsnahe Zeichen|wahrneh&shy;mungsna&shy;her]] [[Zeichen, Zeichenträger, Zeichensystem|Zeichen]] kann im Prinzip in zwei Gruppen aufge&shy;teilt werden: Einer&shy;seits gibt es eine abstrak&shy;te rela&shy;tiona&shy;le ''Basis&shy;struktur''. Sie spannt meist mehre&shy;re koordi&shy;nierte Dimen&shy;sionen auf, in welche die Ele&shy;mente der zweiten Gruppe einge&shy;ordnet werden können. Letzte&shy;re bilden Syste&shy;me perzep&shy;tueller ''Marker&shy;werte'', die es über&shy;haupt erst erlau&shy;ben, die zugrun&shy;de liegen&shy;de Basis&shy;struktur wahrneh&shy;men zu können. In den Worten Kants formt die Basis&shy;struktur eine ''[[Anschauung|reine Anschau&shy;ung]]''.<ref>Als lo&shy;gi&shy;sche Vo&shy;r&shy;aus&shy;set&shy;zung der Wahr&shy;neh&shy;mung – d.h. als ih&shy;re „Be&shy;din&shy;gung der Mög&shy;lich&shy;keit“ – sind rei&shy;ne An&shy;schau&shy;un&shy;gen nicht selbst wahr&shy;nehm&shy;bar (<bib id='Kant 1968a'></bib>: B 33-36).</ref> Bei Bildern ist die Basis&shy;struktur der zwei&shy;dimen&shy;siona&shy;le Raum, wohin&shy;gegen die Marker&shy;werte im Wesent&shy;lichen aus [[Farbe als bildsyntaktische Kategorie|Farben]] und [[Textur|Textu&shy;ren]] beste&shy;hen, die die rein räumli&shy;che Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen.
 
:
 
:
Die Regeln, die unser Sprechen über Raum organisieren (zumindest sofern dieses Sprechen als rational kontrolliert verstanden wird), sind mindestens schon seit der neolithischen Revolution mit der Einführung von Architektur, Ackerbau und den dazu benötigten aufeinander abgestimmten räumlichen Aktivitäten im Fokus der Aufmerksamkeit. Heute beeinflussen vor allem die Kalkülisierung der Geometrie im antiken Griechenland und ihre algebraische Reformulierung im 16. Jhd. die Konzeption des ''reinen Raums'', der auch der Bildsyntax zugrunde liegt.<ref>Damit wird nicht behauptet, dass jene Kalküle ausreichten, wenn es um semantische oder pragmatische Aspekte geht; ⊳ [[Theorien des Bildraums]]. </ref>
+
Die Regeln, die unser Sprechen über Raum orga&shy;nisie&shy;ren (zumin&shy;dest sofern dieses Sprechen als ratio&shy;nal kontrol&shy;liert verstan&shy;den wird), sind mindes&shy;tens schon seit der neoli&shy;thischen Revo&shy;lution mit der Einfüh&shy;rung von Archi&shy;tektur, Acker&shy;bau und den dazu benö&shy;tigten auf&shy;einan&shy;der abge&shy;stimmten räumli&shy;chen Akti&shy;vitä&shy;ten im Fokus der Aufmerk&shy;samkeit. Heute beeinflus&shy;sen vor allem die Kalkü&shy;lisie&shy;rung der Geo&shy;metrie im anti&shy;ken Griechen&shy;land und ihre alge&shy;braische Refor&shy;mulie&shy;rung im 16. Jhd. die Konzep&shy;tion des ''reinen Raums'', der auch der Bild&shy;syntax zugrun&shy;de liegt.<ref>Da&shy;mit wird nicht be&shy;haup&shy;tet, dass je&shy;ne Kal&shy;kü&shy;le aus&shy;reich&shy;ten, wenn es um se&shy;man&shy;ti&shy;sche oder prag&shy;ma&shy;ti&shy;sche As&shy;pek&shy;te geht; ⊳ [[Theorien des Bildraums|The&shy;o&shy;ri&shy;en des Bild&shy;raums]]. </ref>
  
  
==Geometrische Kalküle als Formalisierung von Raum==
+
==Geometrische Kalküle als Forma&shy;lisie&shy;rung von Raum==
Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genommen eine Menge von Regeln, die zuallererst die Möglichkeiten festlegen, über sogenannte ''geometrische Entitäten'' ganz im Abstrakten – d.h. ohne Bezug auf Konkreta mit kontigenten nicht-geometrischen Eigenheiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begrifflichen Bestimmungen einer Menge räumlicher Begriffe. Die Begriffe für elementare geometrische Entitäten werden im Wesentlichen durch die Relationen bestimmt, in die sie miteinander eintreten können. Diese werden üblicherweise unterteilt in Beziehungen von Kontakt und Nachbarschaft (''topologische'' Relationen),<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik) Wikipedia: Topologie (Mathematik)].</ref> Beziehungen, die Abstand und Ausdehnung betreffen (''metrische'' Relationen)<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum Wikipedia: Metrischer Raum].</ref> und Beziehungen hinsichtlich Richtung und Orientierung (''direktonale'' oder ''projektive'' Relationen).<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie Wikipedia: Projektive Geometrie].</ref>  
+
Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genom&shy;men eine Menge von Regeln, die zu&shy;aller&shy;erst die Möglich&shy;keiten festle&shy;gen, über soge&shy;nannte ''geo&shy;metri&shy;sche Enti&shy;täten'' ganz im Abstrak&shy;ten – d.h. ohne Bezug auf Konkre&shy;ta mit kontin&shy;genten nicht-geo&shy;metri&shy;schen Eigen&shy;heiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begriff&shy;lichen Bestim&shy;mungen einer Menge räumli&shy;cher Begrif&shy;fe. Die Begrif&shy;fe für ele&shy;menta&shy;re geo&shy;metri&shy;sche Enti&shy;täten werden im Wesent&shy;lichen durch die Rela&shy;tionen bestimmt, in die sie mit&shy;einan&shy;der eintre&shy;ten können. Diese werden übli&shy;cherwei&shy;se unter&shy;teilt in Bezie&shy;hungen von Kontakt und Nachbar&shy;schaft (''topo&shy;logi&shy;sche'' Rela&shy;tionen),<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik) Wi&shy;ki&shy;pe&shy;di&shy;a: To&shy;po&shy;lo&shy;gie (Ma&shy;the&shy;ma&shy;tik)].</ref> Bezie&shy;hungen, die Abstand und Ausdeh&shy;nung betref&shy;fen (''metri&shy;sche'' Rela&shy;tionen)<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum Wi&shy;ki&shy;pe&shy;di&shy;a: Met&shy;ri&shy;scher Raum].</ref> und Bezie&shy;hungen hinsicht&shy;lich Richtung und Orien&shy;tierung (''direk&shy;tiona&shy;le'' oder ''projek&shy;tive'' Rela&shy;tionen).<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie Wi&shy;ki&shy;pe&shy;di&shy;a: Pro&shy;jek&shy;ti&shy;ve Geo&shy;me&shy;trie].</ref>  
 
:
 
:
Über geometrische Begriffe zu verfügen hat vor allem drei Auswirkungen:
+
Über geometrische Begriffe zu verfü&shy;gen hat vor allem drei Auswir&shy;kungen:
  
* Der ''ontologische'' Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlauben, etwas als ''räumlich'' zu beschreiben.<ref>Genauer gesagt: Eine solche Beschreibung besteht aus Äußerungen, die [[Proposition]]en mit einer [[Prädikation]] verwenden, die sich auf einen geometrischen Begriff bezieht, der durch den Kalkül festgelegt ist.</ref> Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verstehen, d.h. als eine geometrische Entität, bedeutet, es als ein rein räumliches Etwas zu begreifen unabhängig von allen anderen Charakteri&shy;sierungen, die ebenfalls zutreffen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein).<ref> D.h.: »geo&shy;metrisch sein« als solches impliziert nicht not&shy;wen&shy;dig schon  »räum&shy;lich sein«.</ref> Kurz gesagt: ''Die Welt erscheint räumlich organisiert, wenn wir ihre Teile mithilfe geometrischer Begriffe unterscheiden.''
+
* Der ''ontologische'' Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlau&shy;ben, etwas als ''räumlich'' zu beschrei&shy;ben.<ref>Ge&shy;nau&shy;er ge&shy;sagt: Ei&shy;ne sol&shy;che Be&shy;schrei&shy;bung be&shy;steht aus Äu&shy;ße&shy;run&shy;gen, die [[Proposition|Pro&shy;po&shy;si&shy;ti&shy;o&shy;nen]] mit ei&shy;ner [[Prädikation|Prä&shy;di&shy;ka&shy;ti&shy;on]] ver&shy;wen&shy;den, die sich auf ei&shy;nen geo&shy;me&shy;tri&shy;schen Be&shy;griff be&shy;zieht, der durch den Kal&shy;kül fest&shy;ge&shy;legt ist.</ref> Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verste&shy;hen, d.h. als eine geo&shy;metri&shy;sche Enti&shy;tät, bedeu&shy;tet, es als ein rein räumli&shy;ches Etwas zu begrei&shy;fen unab&shy;hängig von allen ande&shy;ren Charak&shy;teri&shy;sierun&shy;gen, die eben&shy;falls zutref&shy;fen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein).<ref> D.h.: »geo&shy;me&shy;trisch sein« als sol&shy;ches im&shy;pli&shy;ziert nicht not&shy;wen&shy;dig schon  »räum&shy;lich sein«.</ref> Kurz gesagt: ''Die Welt erscheint räumlich orga&shy;nisiert, wenn wir ihre Teile mithil&shy;fe geo&shy;metri&shy;scher Begrif&shy;fe unter&shy;scheiden.''
  
* Der ''epistemologische'' Aspekt beinhaltet (u.a.), dass die [[Gestalt]]en, die in Beschreibungen visuellen Wahrnehmens vorkommen, als geometrische (und daher: räumliche) Entitäten verstanden werden können. Das heißt, der Kalkül formalisiert einen abstrakten Teil unseres Verständnisses von der visuellen Wahr&shy;nehmung (auch ⊳ [[Gegenstand der visuellen Wahrnehmung|Gegen&shy;stand der visuellen Wahr&shy;nehmung]]): Kurz gesagt: ''Wir sehen die Welt als räumlich organisiert.''
+
* Der ''epistemologische'' Aspekt beinhal&shy;tet (u.a.), dass die [[Gestalt|Gestal&shy;ten]], die in Beschrei&shy;bungen visu&shy;ellen Wahrneh&shy;mens vorkom&shy;men, als geo&shy;metri&shy;sche (und daher: räumli&shy;che) Enti&shy;täten verstan&shy;den werden können. Das heißt, der Kalkül forma&shy;lisiert einen abstrak&shy;ten Teil unse&shy;res Verständ&shy;nisses von der visu&shy;ellen Wahr&shy;nehmung (auch ⊳ [[Gegenstand der visuellen Wahrnehmung|Gegen&shy;stand der visu&shy;ellen Wahr&shy;nehmung]]): Kurz gesagt: ''Wir sehen die Welt als räumlich orga&shy;nisiert.''
  
* Der ''argumentative'' Aspekt bedeutet schließlich, dass die Regeln des Kalküls angeben, wie eine gegebene Beschreibung räumlicher Gegenstände umgeformt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschreibung zu verändern: Diese Umformungen werden meist unter der Bezeichnung ‘räumliches Schließen’ zusammengefasst:<ref> Insbesondere die Regeln, die geometrische Begriffe mit&shy;einander in Beziehung setzen, wie etwa dass »links« das Inverse zu »rechts« sei oder dass »in« unter gewissen Voraussetzungen eine transitive Relation sei, können als Mittelterme in räumlichen Syl&shy;logismen verwendet werden, die verschiedene [[Proposition]]en über geometrische Entitäten mit&shy;einander verbinden. Vgl. hierzu aber auch die über die reine Geometrie hinausgehenden Anteile an solchen Schluss&shy;prozessen, wie sie insbesondere in <bib id='Herskovits 1986a'></bib> oder <bib id='Aurnague & Vieu 1993a'></bib> begründet werden, und die Kopplung dieser Überlegungen mit begriffs&shy;genetischen Argumentationen in <bib id='Schirra 1994a'></bib>: insbesondere Kap. 5. </ref> Kurz gesagt: ''Wenn wir rational über Räumliches diskutieren, verwenden wir die Kalkül-Regeln für geometrische Begriffe.''
+
* Der ''argumentative'' Aspekt bedeutet schließ&shy;lich, dass die Regeln des Kalküls ange&shy;ben, wie eine gege&shy;bene Beschrei&shy;bung räumli&shy;cher Gegen&shy;stände umge&shy;formt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschrei&shy;bung zu verän&shy;dern: Diese Umfor&shy;mungen werden meist unter der Bezeich&shy;nung ‘räumli&shy;ches Schließen’ zusam&shy;menge&shy;fasst:<ref> Ins&shy;be&shy;son&shy;de&shy;re die Re&shy;geln, die geo&shy;me&shy;tri&shy;sche Be&shy;grif&shy;fe mit&shy;ein&shy;an&shy;der in Be&shy;zie&shy;hung set&shy;zen, wie et&shy;wa dass »links« das In&shy;ver&shy;se zu »rechts« sei oder dass »in« un&shy;ter ge&shy;wis&shy;sen Vo&shy;raus&shy;set&shy;zun&shy;gen ei&shy;ne tran&shy;si&shy;ti&shy;ve Re&shy;la&shy;ti&shy;on sei, kön&shy;nen als Mit&shy;tel&shy;ter&shy;me in räum&shy;li&shy;chen Syl&shy;lo&shy;gis&shy;men ver&shy;wen&shy;det wer&shy;den, die ver&shy;schie&shy;de&shy;ne [[Proposition|Pro&shy;po&shy;si&shy;ti&shy;o&shy;nen]] über geo&shy;me&shy;tri&shy;sche En&shy;ti&shy;tä&shy;ten mit&shy;ein&shy;an&shy;der ver&shy;bin&shy;den. Vgl. hier&shy;zu aber auch die über die rei&shy;ne Geo&shy;me&shy;trie hi&shy;n&shy;aus&shy;ge&shy;hen&shy;den An&shy;tei&shy;le an sol&shy;chen Schluss&shy;pro&shy;zes&shy;sen, wie sie ins&shy;be&shy;son&shy;de&shy;re in <bib id='Herskovits 1986a'>Hers&shy;ko&shy;vits 1986a</bib> oder <bib id='Aurnague & Vieu 1993a'>Aur&shy;na&shy;gue & Vieu 1993a</bib> be&shy;grün&shy;det wer&shy;den, und die Kopp&shy;lung die&shy;ser Über&shy;le&shy;gun&shy;gen mit be&shy;griffs&shy;ge&shy;ne&shy;ti&shy;schen Ar&shy;gu&shy;men&shy;ta&shy;ti&shy;o&shy;nen in <bib id='Schirra 1994a'>Schir&shy;ra 1994a</bib>: vor al&shy;lem Kap. 5. </ref> Kurz gesagt: ''Wenn wir rati&shy;onal über Räumli&shy;ches disku&shy;tieren, verwen&shy;den wir die Kalkül-Regeln für geo&shy;metri&shy;sche Begrif&shy;fe.''
 
:
 
:
Der Standardansatz zu geometrischen Kalkülen ist (1) Euklids axiomatisches System, das auf dem Begriff eines unausgedehnten aber eindeutig lokalisierten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist allerdings ziemlich abstrakt und verhältnismäßig weit entfernt von der konkreten Erfahrung mit Raum. (2) Eine Familie von Non-Standard-Geometrie&shy;kalkülen, die im Wesentlichen erst im 20. Jhd. entwickelt wurde und kognitiven Prinzipien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Formalisierung von Geometrie ohne dieses Problem und mit interessanten Eigenschaften für die [[Bildmorphologie]]: ''Mereogeometrien''.
+
Der Standardansatz zu geometri&shy;schen Kalkü&shy;len ist (1) Euklids axio&shy;mati&shy;sches System, das auf dem Begriff eines unaus&shy;gedehn&shy;ten aber eindeu&shy;tig loka&shy;lisier&shy;ten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist aller&shy;dings ziemlich abstrakt und verhält&shy;nismä&shy;ßig weit entfernt von der konkre&shy;ten Erfah&shy;rung mit Raum. (2) Eine Familie von Non-Standard-Geo&shy;metrie&shy;kalkü&shy;len, die im Wesent&shy;lichen erst im 20. Jhd. ent&shy;wickelt wurde und kogni&shy;tiven Prinzi&shy;pien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Forma&shy;lisie&shy;rung von Geo&shy;metrie ohne dieses Problem und mit inte&shy;ressan&shy;ten Eigen&shy;schaften für die [[Bildmorphologie|Bild&shy;morpho&shy;logie]]: ''Mereo&shy;geome&shy;trien''.
 
:
 
:
===Euklidische Geometriekalküle===
+
===Euklidische Geometrie&shy;kalkü&shy;le===
 
Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axiomatische System der Geometrie von Euklid vorgeschlagen.<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie Wikipedia: Euklidische Geometrie].</ref>  Ausgehend von einer Menge grundlegender Postulate (sog. ‘Axiome’) können in diesem System Schluss&shy;folgerungen gezogen werden, um formal (d.h. nur mittels logischer Deduktion) Theoreme über geometrische Objekte und deren Eigenschaften und Relationen zu beweisen. Die Diskussion dieses Ansatzes insbesondere über die Unabhängigkeit der fünf Grund&shy;postulate hat tatsächlich in der Folge zu verschiedenen Varianten solcher geometrischer Kalküle geführt, die den Bereich der ''synthetischen Geometrie'' bilden.<ref>Vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Synthetische_Geometrie Wikipedia: Synthetische Geometrie]. Vor allem das “fünfte Axiom”, wie es meist genannt wird, das sich mit dem Begriff der Parallelität befasst, erwies sich als sehr fruchtbar, obwohl die klassischen Nicht-Euklidischen Kalküle, die daraus entstanden, in der Regel für Bild&shy;syntax wenig relevant sind; vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelenaxiom Wikipedia: Parallelenaxiom].</ref>   
 
Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axiomatische System der Geometrie von Euklid vorgeschlagen.<ref>Vgl. auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie Wikipedia: Euklidische Geometrie].</ref>  Ausgehend von einer Menge grundlegender Postulate (sog. ‘Axiome’) können in diesem System Schluss&shy;folgerungen gezogen werden, um formal (d.h. nur mittels logischer Deduktion) Theoreme über geometrische Objekte und deren Eigenschaften und Relationen zu beweisen. Die Diskussion dieses Ansatzes insbesondere über die Unabhängigkeit der fünf Grund&shy;postulate hat tatsächlich in der Folge zu verschiedenen Varianten solcher geometrischer Kalküle geführt, die den Bereich der ''synthetischen Geometrie'' bilden.<ref>Vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Synthetische_Geometrie Wikipedia: Synthetische Geometrie]. Vor allem das “fünfte Axiom”, wie es meist genannt wird, das sich mit dem Begriff der Parallelität befasst, erwies sich als sehr fruchtbar, obwohl die klassischen Nicht-Euklidischen Kalküle, die daraus entstanden, in der Regel für Bild&shy;syntax wenig relevant sind; vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelenaxiom Wikipedia: Parallelenaxiom].</ref>   
 
:
 
:
Zeile 104: Zeile 104:
 
* [[Textur]]
 
* [[Textur]]
 
* [[Video]]
 
* [[Video]]
 +
* [[Zeichen, Zeichenträger, Zeichensystem]]
  
 
<!--den folgenden Befehl, der die drei rechten Kästen einfügt, nicht verändern-->
 
<!--den folgenden Befehl, der die drei rechten Kästen einfügt, nicht verändern-->

Version vom 10. Oktober 2013, 17:49 Uhr

Unterpunkt zu: Bildsyntax
Glossar-English:Space and Geometry


Raum als Grundkategorie der Bild­morpho­logie

Die Menge der syntaktischen Komponenten wahrneh­mungsna­her Zeichen kann im Prinzip in zwei Gruppen aufge­teilt werden: Einer­seits gibt es eine abstrak­te rela­tiona­le Basis­struktur. Sie spannt meist mehre­re koordi­nierte Dimen­sionen auf, in welche die Ele­mente der zweiten Gruppe einge­ordnet werden können. Letzte­re bilden Syste­me perzep­tueller Marker­werte, die es über­haupt erst erlau­ben, die zugrun­de liegen­de Basis­struktur wahrneh­men zu können. In den Worten Kants formt die Basis­struktur eine reine Anschau­ung.[1] Bei Bildern ist die Basis­struktur der zwei­dimen­siona­le Raum, wohin­gegen die Marker­werte im Wesent­lichen aus Farben und Textu­ren beste­hen, die die rein räumli­che Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen.

Die Regeln, die unser Sprechen über Raum orga­nisie­ren (zumin­dest sofern dieses Sprechen als ratio­nal kontrol­liert verstan­den wird), sind mindes­tens schon seit der neoli­thischen Revo­lution mit der Einfüh­rung von Archi­tektur, Acker­bau und den dazu benö­tigten auf­einan­der abge­stimmten räumli­chen Akti­vitä­ten im Fokus der Aufmerk­samkeit. Heute beeinflus­sen vor allem die Kalkü­lisie­rung der Geo­metrie im anti­ken Griechen­land und ihre alge­braische Refor­mulie­rung im 16. Jhd. die Konzep­tion des reinen Raums, der auch der Bild­syntax zugrun­de liegt.[2]


Geometrische Kalküle als Forma­lisie­rung von Raum

Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genom­men eine Menge von Regeln, die zu­aller­erst die Möglich­keiten festle­gen, über soge­nannte geo­metri­sche Enti­täten ganz im Abstrak­ten – d.h. ohne Bezug auf Konkre­ta mit kontin­genten nicht-geo­metri­schen Eigen­heiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begriff­lichen Bestim­mungen einer Menge räumli­cher Begrif­fe. Die Begrif­fe für ele­menta­re geo­metri­sche Enti­täten werden im Wesent­lichen durch die Rela­tionen bestimmt, in die sie mit­einan­der eintre­ten können. Diese werden übli­cherwei­se unter­teilt in Bezie­hungen von Kontakt und Nachbar­schaft (topo­logi­sche Rela­tionen),[3] Bezie­hungen, die Abstand und Ausdeh­nung betref­fen (metri­sche Rela­tionen)[4] und Bezie­hungen hinsicht­lich Richtung und Orien­tierung (direk­tiona­le oder projek­tive Rela­tionen).[5]

Über geometrische Begriffe zu verfü­gen hat vor allem drei Auswir­kungen:

  • Der ontologische Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlau­ben, etwas als räumlich zu beschrei­ben.[6] Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verste­hen, d.h. als eine geo­metri­sche Enti­tät, bedeu­tet, es als ein rein räumli­ches Etwas zu begrei­fen – unab­hängig von allen ande­ren Charak­teri­sierun­gen, die eben­falls zutref­fen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein).[7] Kurz gesagt: Die Welt erscheint räumlich orga­nisiert, wenn wir ihre Teile mithil­fe geo­metri­scher Begrif­fe unter­scheiden.
  • Der epistemologische Aspekt beinhal­tet (u.a.), dass die Gestal­ten, die in Beschrei­bungen visu­ellen Wahrneh­mens vorkom­men, als geo­metri­sche (und daher: räumli­che) Enti­täten verstan­den werden können. Das heißt, der Kalkül forma­lisiert einen abstrak­ten Teil unse­res Verständ­nisses von der visu­ellen Wahr­nehmung (auch ⊳ Gegen­stand der visu­ellen Wahr­nehmung): Kurz gesagt: Wir sehen die Welt als räumlich orga­nisiert.
  • Der argumentative Aspekt bedeutet schließ­lich, dass die Regeln des Kalküls ange­ben, wie eine gege­bene Beschrei­bung räumli­cher Gegen­stände umge­formt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschrei­bung zu verän­dern: Diese Umfor­mungen werden meist unter der Bezeich­nung ‘räumli­ches Schließen’ zusam­menge­fasst:[8] Kurz gesagt: Wenn wir rati­onal über Räumli­ches disku­tieren, verwen­den wir die Kalkül-Regeln für geo­metri­sche Begrif­fe.

Der Standardansatz zu geometri­schen Kalkü­len ist (1) Euklids axio­mati­sches System, das auf dem Begriff eines unaus­gedehn­ten aber eindeu­tig loka­lisier­ten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist aller­dings ziemlich abstrakt und verhält­nismä­ßig weit entfernt von der konkre­ten Erfah­rung mit Raum. (2) Eine Familie von Non-Standard-Geo­metrie­kalkü­len, die im Wesent­lichen erst im 20. Jhd. ent­wickelt wurde und kogni­tiven Prinzi­pien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Forma­lisie­rung von Geo­metrie ohne dieses Problem und mit inte­ressan­ten Eigen­schaften für die Bild­morpho­logie: Mereo­geome­trien.

Euklidische Geometrie­kalkü­le

Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axiomatische System der Geometrie von Euklid vorgeschlagen.[9] Ausgehend von einer Menge grundlegender Postulate (sog. ‘Axiome’) können in diesem System Schluss­folgerungen gezogen werden, um formal (d.h. nur mittels logischer Deduktion) Theoreme über geometrische Objekte und deren Eigenschaften und Relationen zu beweisen. Die Diskussion dieses Ansatzes insbesondere über die Unabhängigkeit der fünf Grund­postulate hat tatsächlich in der Folge zu verschiedenen Varianten solcher geometrischer Kalküle geführt, die den Bereich der synthetischen Geometrie bilden.[10]

Im 17. Jhd. entwickelte Descartes ([Descartes 1637a]Descartes, René (1637).
La géométrie. Leiden: Jan Maire, Anhang des ‘Discours de la méthode’.

  Eintrag in Sammlung zeigen
) einen alternativen, auf algebraischen Formeln beruhenden Formalismus – Orte werden durch Zahlen beschrieben, die deren Entfernungen zu einem Ursprungs­punkt relativ zu Koordinaten­achsen enkodieren (kartesische Koordinaten). Von dieser analytischen Geometrie, die letztlich zu den heute zumindest im technischen Bereich meist verwendeten Vektor­kalkülen des Raumes geführt hat, konnte formal bewiesen werden ([Hilbert 1899a]Hilbert, David (1899).
Grundlagen der Geometrie. Leipzig: Teubner.

  Eintrag in Sammlung zeigen
), dass sie vollkommen äquivalent zu Euklids Kalkül ist.[11]

Alle geometrischen Objekte werden wesentlich betrachtet als Mengen individueller Orte, genannt ‘Punkte’, die, wie Euklid sich ausdrückte, das sind, „was keine Teile hat“. Punkte können in einer oder mehreren Dimensionen organisiert sein – abhängig von der Menge der unabhängigen (‘orthogonalen’) Koordinatenachsen, die mit den Hauptrichtungen assoziiert sind. Jede Achse organisiert die Punkte zudem gemäß den reellen Zahlen. Daher sind die Euklidischen Punkte notwendig in einem Kontinuum angeordnet.

Mit den Regeln des Geometriekalküls werden räumliche Homo­genität (Invarianz gegenüber Translation des Koordinaten­ursprungs) und Iso­tropie (Invarianz gegenüber Rotation der Koordinaten­achsen) erreicht, die letztlich die Basis bilden für die syntaktische Dichte des Bild­raumes. Allerdings führt die übliche euklidische Formalisierung der Geometrie auch zu der uner­wünschten Folge, dass die grund­legenden Pixeme notwendig unaus­gedehnte Punkte sind – ein hoch­abstrakter, von der Erfahrung weit entfernter Begriff also. Jede ausgedehnte Region – und damit letztlich auch jedes Pixem – muss dann aus einer unendlich großen Menge elementarer geometrischer Objekte bestehen, ganz im Gegensatz zur Gestalt-Konzeption der (Raum-)Wahrnehmung.

Mereogeometrische Kalküle

Einige Nichtstandard-Kalküle des Raumes liefern einen inte­ressanten Ausweg aus diesem Dilemma: Mereogeometrien sind das Ergebnis eines formalen Ansatzes zur Geometrie, die im Wesentlichen im 20. Jhd. entwickelt wurden, und die versuchen, den fundamentalen kognitiven Prinzipien gerecht zu werden. Wenn ein Punkt, wie Euklid dachte, das sein soll, „was keine Teile hat“, dann sollten Teil-Ganzes-Beziehungen offensichtlich als zentrale Elemente der Geometrie betrachtet werden. Zumindest für eine Begründung des Bild­raumes wären zudem geo­metrische Entitäten mit Teilen die natürlicheren Kandidaten für die logischen Grund­bau­steine geo­metrischer Kalküle.

Im Gegensatz zu den Geometriekalkülen im Stile Euklids ist die Familie der mereo­geometrischen Kalküle auf dem Begriff einer Region aufgebaut, einer ausgedehnten Einheit, die unterscheidbare echte Teile haben mag oder auch nicht. Diese Regionen werden in der Mereo­geometrie oft auch ‘Individuen’ genannt, da sie als unhinter­gehbare Grund­elemente des Kalküls gelten.[12] Sie haben keine unmittelbaren Form- oder Positions­eigenschaften:[13] Lediglich die Beziehungen zu anderen Individuen, die insbesondere ihre Teile sein können oder von denen sie ein Teil sind, bestimmen Form, Ausdehnung und relative Lage: Die Form etwa ist determiniert durch die Relationen zwischen den Teil­regionen eines Gebiets.

Während in Euklidischen Geometrien zunächst die unendlich große Menge des Kontinuums von Ko­ordinaten eingeführt wird, die die potentiellen Punkte bestimmen, von denen einige dann als relevant ausge­wählt werden (in aller Regel sind das für praktische bedeutsame Fälle immer noch unendlich viele), beginnen mereo­geometrische Kalküle mit einer (für gewöhnlich endlichen) Anzahl relevanter Regionen (‘Individuen’).[14] Ein solches Individuum kann man sich – den wahrnehmungs­psychologischen Prinzipien der Gestalt­schule folgend – sehr wohl auch als eine visuelle Gestalt vorstellen: Man muss zunächst das wahr­genommene Ganze betrachten und sollte die Begriffe der perzeptuellen “Atome” erst danach als Instrumente zum Erklären der Gestalten einführen, nicht umgekehrt. Schließlich sehen Menschen – und das gilt ins­besondere auch für die Bildwahrnehmung – keine unendlich großen Mengen null-dimensionaler Punkte, sondern ausge­dehnte Gestalten. Der abstrakte Begriff einer räumlichen Einheit ohne Ausdehnung ist sekundär und zu dem Zweck konstruiert, einige Aspekte des Erfahrungs­raums zu erläutern, während er an anderer Stelle zu ernst­haften Problemen führt.

Da Raum traditionell durch Punkt-basierte Geometrie­kalküle be­griffen wurde, ist immerhin zu bemerken, dass die Eigen­schaften des Euklidischen Raumes (d.h. des durch Euklidische Kalküle beschriebenen Raum­konzepts) im Großen und Ganzen durchaus zu unseren allgemeinen Vor­stellungen von Raum passen. Daher sollte es auch nicht überraschen, dass die meisten mereo­geometrischen Kalküle zu Systemen führen, die dem Euklidischen Raum äquivalent sind (vgl. [Borgo & Masolo 2010a]Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010).
Full Mereogeometries. In The Review of Symbolic Logic, 3, 4, 521 - 567.

  Eintrag in Sammlung zeigen
). Diese Tatsache verdeutlicht, dass unsere Kognitionen von Raum ziemlich stabil und praktisch sind und nicht von der Wahl der geometrischen Primitive abhängt. Tatsächlich geht es auch nicht darum, lediglich die Eigen­arten des Alltags­begriffs von Raum abzudecken. Die Pointe liegt vielmehr darin zu erläutern, wie wir diesen spezifischen Begriff von Raum kognitiv erreichen. Die primäre Frage, die Mereo­geometrien aus dieser Perspektive zu beantworten suchen, ist daher, welche Primitive auf ausge­dehnte Objekte anwendbar sind, die ausdrucks­stark genug sind, den Alltags­begriff von Raum zu entfalten.


Geometriekalküle und bild­morpho­logische Strukturen

Die Forschung zu mereo­geometrischen Kalkülen stützt in der Tat einen irritierenden bild­morphologischen Befund: das Fehlen von Ein­schränkungen für die Wahl der morphologischen Primitive. In beiden Bereichen (Mereogeometrie und Bildmorphologie) kommt man leicht zu äquivalenten Formalismen obwohl man von ganz unter­schiedlichen Voraus­setzungen ausge­gangen ist. Daher darf die Wahl der Primitive nicht nur von rein formalen Eigenschaften abhängen, sondern muss von Argumenten und Beobach­tungen aus anderen, insbesondere kogni­tiven, evoluti­onären, mentalen und wahr­nehmungs­psycho­logischen Per­spek­tiven unter­stützt werden. Die Entwicklung der geo­metrischen Kalküle bis hin zu den Mereo­geo­metrien führt zu geo­metrischen Ansätzen, die, indem sie unter­schiedliche Primitive ausnutzen, ganz zwanglos verschiedene formale Systeme mit äquivalenter Ausdrucks­stärke hervorbringen. Einerseits führt die Suche nach der Grund­legung von Pixemen (als Primitive wie als Prototypen) direkt zu einer Debatte, die der Diskussion über die fundamentalen geo­metrischen Entitäten entspricht. Andererseits legt der Wunsch, mit einem Computer­programm komplexe Bilder zu erzeugen oder zu verstehen, (zumindest in der Theorie) die Existenz einer begrenzten Zahl von Basis­pixemen nahe, die in einem formalen Kalkül bei beschränkter Komplexität beliebig kombi­nierbar sein sollen (⊳ Bild­verar­beitung, digitale).[15]

Pixeme als geometrische Entitäten

Im Kontext der morphologischen Struktur von Bildern beschreibt der geometrische Kalkül, wie wir (rational) über die Basisstruktur der Bildebene und den darin enthaltenen Pixemen reden. Eine Basisstruktur, die den Regeln, wie sie vom Kalkül vorgeschrieben sind, nicht erfüllt, führt zu syntaktisch unkorrekten Bildern. Mit einem punkt-basierten Kalkül werden Pixeme verstanden als (unendliche) Mengen von Punkten, die durch Gestalt-orga­nisie­rende Prozesse auf den visuellen Marker­werten (⊳ Farbe als bild­syntak­tische Kategorie) bestimmt sind. Die unendlich vielen Punkte, die jedes Pixem enthält, sind letztlich Orte, die lediglich potentiell von Interesse sein könnten: Sie mögen morphologisch relevant werden, wenn man den gerade betrachteten Bild­träger mit einem anderen Bild­träger vergleicht. Entsprechend kommt in Euklidischen Kalkülen ein Begriff der Auflösung nicht vor: Der hypothetische Auflösungs­faktor ist hier immer unendlich – entsprechend einer Gottes­perspektive auf Raum.

Bei einem mereo­geometrischen Kalkül sind Pixeme “Individuen”, also primitive Entitäten des Kalküls. Wenn wir davon ausgehen, dass die Gestalt-Prinzipien, die visuelles Wahrnehmen organisieren, genau solche Regionen bestimmen, die syntaktisch relevant sind, können diese Pixeme also ganz zwanglos als etwas in der Wahrnehmung Gegebenes aufgefasst werden. Es besteht keine Not­wendigkeit, weitere Punkte zu betrachten.

Punkte, Auflösung und Mikroskopierung

Während Mereogeometrien mit reinem Raum beschäftigt sind, muss Bild­morpho­logie weitere Faktoren berücksichtigen, wie »Granu­larität« (welche sehr grund­legende Eigen­schaften, wie Kontakt zwischen Entitäten, und damit die Topo­logie an sich, beeinflusst). In der Tat kann in der Mereo­geometrie der Begriff einer kleinsten Region durchaus eingeführt werden: Sie werden in den Kalkülen für gewöhnlich ‘Punkte’ genannt, könnten aber ebenso gut als ‘Pixel’ bezeichnet werden. Ein solcher Punkt, der sich offensichtlich deutlich vom Euklidischen Punkt­begriff unter­scheidet, ist im wesentlichen definiert über eine Region, die keine echte Teil­region im Kalkül aufweist (d.h.: es werden keine solchen Teile betrachtet!).[16] Wenn der Begriff »Punkt« auf mereo­geo­metrische Weise eingeführt wird, ist es bei der Betrachtung eines konkreten Falles – bei Betrachtung eines endlichen Raum­bereichs – nicht not­wendig, unendlich viele solcher Punkt-Regionen zu berück­sichtigen. Lediglich “relevante” Punkte müssen instantiiert werden. Das bedeutet zugleich, dass ein solcher Kalkül den Raum stets mit endlicher Auf­lösung erfasst. Allerdings haben N. Asher & L. Vieu ([Asher & Vieu 1995a]Asher, Nicholas & Vieu, Laure: (1995).
Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology.
In IJCAI-95, 846–852.

  Eintrag in Sammlung zeigen
) durch eine modale Erweiterung ihres mereo­geo­metrischen Kalküls einen ‘Mikroskopierung’ genannten formalen Mecha­nismus vorge­schlagen, der eine Art Zooming-Operation darstellt: Was auf einer Betrachtungs­ebene ein Punkt ist, kann dann auf einer anderen, mikrosko­pierten Betrachtungs­ebene eine zusammen­gesetzte Region sein, die aus mehreren (relevanten) Punkten besteht.

Die leere Bildfläche und Maximal­pixeme

Im Gegensatz zu den Räumen der Standard­geometrien ist der Bild­raum stets nach außen beschränkt: Die Bild­ebene besteht aus einem einzigen Maximal­pixem, das kein Teil eines anderen Pixems des Bildes ist – Fernande Saint-Martin verwendet hierfür den Ausdruck ‘basic picture plane’ ([Saint-Martin 1987a]Saint-Martin, Fernande (1987).
Sémiologie du langage visuel. Montréal: Presses de l’Université du Quebec, Englisch: Semiotics of Visual Language. Bloomington, Indianapolis: Indiana University Press..

  Eintrag in Sammlung zeigen
).[17] Die für mereo­geo­metrische Kalküle zentrale Unter­scheidung des abge­schlossenen, d.h. seine Grenze mit umfassenden Individuums gegenüber dem Teil­individuum, das dem Ersteren ganz entspricht ohne aber die Grenze selbst zu beinhalten, liefert einen unmittel­baren Ansatz für die Unter­scheidung des Rahmens vom eigent­lichen Bild (⊳ Rahmung, Rahmen).
Abbildung 1: Recht­eckiges Maximal­pixem mit “energe­tischem Phänomen” nach Saint-Martin
Wird die übliche recht­eckige Grund­form der Bild­fläche ge­wählt, er­geben sich bei mereo­geo­metrischer Be­trach­tung zu­dem ins­beson­dere vier Indi­vi­duen, die als (mereo­geo­metrische) Punkte zu be­trach­ten sind: die vier Ecken. Dabei dürfte die “energetische Auf­ladung” der Eck­regionen, auf die etwa Saint-Martin in ihrer bild­morpho­logischen Ab­hand­lung hin­weist (s. Abb. 1), mit der Kon­struk­tion des Punkt­konzeptes inner­halb der meisten mereo­geo­metrischen Kalküle zusammen­hängen: Im mereo­geo­metrischen Kalkül von Tarski etwa werden Punkte als Klasse aller im Kalkül betrachteten konzentrischen Kreise eingeführt ([Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929).
Les fondement de la géometrie des corps. Cracovie: Société polonaise de mathématique, Erweiterte Fassung in Tarksi: Logique, Sémantique, Métamathématique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.

  Eintrag in Sammlung zeigen
). Für jede Ecke einer recht­eckigen Bild­fläche müssen in einer Beschreibung also entsprechende Kreis­individuen instanziiert werden – ihre in der Bild­fläche liegenden Teile entsprechen den Energie­linien Saint-Martins.


Weitere Aspekte

Bildsemantische Aspekte der Geometrie

Die in geometrischen Kalkülen gefassten Raum­konzepte spielen natürlich auch eine wichtige Rolle in der Bild­semantik: Die Pro­jek­tion einer drei­dimen­sionalen Szene auf eine zwei­dimen­sionale Bild­fläche gehorcht Regeln, die sich insbesondere (wenn auch nicht aus­schließlich) aus den Kalkülen der projektiven Geo­metrien ergeben. Auf diese Zusammen­hänge wird im Lemma Perspektive und Projektion näher eingegangen.

Zeit als Raum

Physikalisch wird auch die zeitliche Erstreckung und Anordnung als weitere (vierte) geo­metrische Dimension gefasst. Dies spielt in der Bild­philosophie entsprechend bei Film, Video, Fernsehen und anderen Bewegt­bild­formaten eine Rolle. Im strengen physi­kali­schen Sinne wird allerdings die zeitliche “Raum­richtung” von den räumlichen Dimensionen oft dadurch hervorgehoben, dass sie als imaginäre Achse eines vier­dimen­sionalen komplexen Vektor­raumes angesetzt wird, oder umge­kehrt die eigent­lichen Raum­anteile als imaginäre Dimen­sionen die Zeit als einzige reell­wertige Dimen­sion ergänzen (sog. ‘Quarternionen’).[18] Auch in der Com­puter­graphik werden solche Quarter­nionen zur Berechnung von Trans­formationen von 3D-Modellen verwendet. Insbesondere Drehungen im Raum lassen sich auf diese Weise besonders einfach formal behandeln.

Anmerkungen
  1. Als lo­gi­sche Vo­r­aus­set­zung der Wahr­neh­mung – d.h. als ih­re „Be­din­gung der Mög­lich­keit“ – sind rei­ne An­schau­un­gen nicht selbst wahr­nehm­bar ([Kant 1968a]Literaturangabe fehlt.
    Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als:
    - Buch,
    - Artikel in Zeitschrift,
    - Beitrag in Sammelband,
    - Sammelband,
    - andere Publikation,
    - Glossarlemma.
    : B 33-36).
  2. Da­mit wird nicht be­haup­tet, dass je­ne Kal­kü­le aus­reich­ten, wenn es um se­man­ti­sche oder prag­ma­ti­sche As­pek­te geht; ⊳ The­o­ri­en des Bild­raums.
  3. Vgl. auch Wi­ki­pe­di­a: To­po­lo­gie (Ma­the­ma­tik).
  4. Vgl. auch Wi­ki­pe­di­a: Met­ri­scher Raum.
  5. Vgl. auch Wi­ki­pe­di­a: Pro­jek­ti­ve Geo­me­trie.
  6. Ge­nau­er ge­sagt: Ei­ne sol­che Be­schrei­bung be­steht aus Äu­ße­run­gen, die Pro­po­si­ti­o­nen mit ei­ner Prä­di­ka­ti­on ver­wen­den, die sich auf ei­nen geo­me­tri­schen Be­griff be­zieht, der durch den Kal­kül fest­ge­legt ist.
  7. D.h.: »geo­me­trisch sein« als sol­ches im­pli­ziert nicht not­wen­dig schon  »räum­lich sein«.
  8. Ins­be­son­de­re die Re­geln, die geo­me­tri­sche Be­grif­fe mit­ein­an­der in Be­zie­hung set­zen, wie et­wa dass »links« das In­ver­se zu »rechts« sei oder dass »in« un­ter ge­wis­sen Vo­raus­set­zun­gen ei­ne tran­si­ti­ve Re­la­ti­on sei, kön­nen als Mit­tel­ter­me in räum­li­chen Syl­lo­gis­men ver­wen­det wer­den, die ver­schie­de­ne Pro­po­si­ti­o­nen über geo­me­tri­sche En­ti­tä­ten mit­ein­an­der ver­bin­den. Vgl. hier­zu aber auch die über die rei­ne Geo­me­trie hi­n­aus­ge­hen­den An­tei­le an sol­chen Schluss­pro­zes­sen, wie sie ins­be­son­de­re in [Hers­ko­vits 1986a]Herskovits, Annette (1986).
    Language and Cognition – An Interdisciplinary Study of the Prepositions in English. Cambridge: Cambridge Univ. Press.

      Eintrag in Sammlung zeigen
    oder [Aur­na­gue & Vieu 1993a]Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993).
    A Three-Level Approach to the Semantics of Space.
    In The Semantics of Prepositions – From Mental Processing to Natural Language Processing, 393–439.

      Eintrag in Sammlung zeigen
    be­grün­det wer­den, und die Kopp­lung die­ser Über­le­gun­gen mit be­griffs­ge­ne­ti­schen Ar­gu­men­ta­ti­o­nen in [Schir­ra 1994a]Schirra, Jörg R.J. (1994).
    Bildbeschreibung als Verbindung von visuellem und sprachlichem Raum. St. Augustin: DISKI, ISBN 3-929037-71-8 .

      Eintrag in Sammlung zeigen
    : vor al­lem Kap. 5.
  9. Vgl. auch Wikipedia: Euklidische Geometrie.
  10. Vgl. Wikipedia: Synthetische Geometrie. Vor allem das “fünfte Axiom”, wie es meist genannt wird, das sich mit dem Begriff der Parallelität befasst, erwies sich als sehr fruchtbar, obwohl die klassischen Nicht-Euklidischen Kalküle, die daraus entstanden, in der Regel für Bild­syntax wenig relevant sind; vgl. Wikipedia: Parallelenaxiom.
  11. Vgl. auch Wikipedia: Analytische Geometrie.
  12. Mereogeometrische Regionen können als für den mereo­geometrischen Kalkül unteilbar (‘in-dividuum’) gelten, obwohl sie in Teil-Ganzes-Beziehungen eingehen und daher andere Regionen als Teile haben können, weil ihre Eigen­schaften nicht auf die Kompo­sition aus zugrunde liegenden Elementen zurückgeführt wird.
  13. Ausnahmen belegen hier die Regel: In einigen Varianten werden etwa nur kreisförmige Regionen betrachtet ([Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929).
    Les fondement de la géometrie des corps. Cracovie: Société polonaise de mathématique, Erweiterte Fassung in Tarksi: Logique, Sémantique, Métamathématique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.

      Eintrag in Sammlung zeigen
    ).
  14. Ein ausführlicheres Beispiel eines mereogeometrischen Kalküls findet sich in Exkurs:Mereogeometrien.
  15. Natürlich umfasst die Bild­morpho­logie wesent­lich mehr als diese Frage; vgl. insbe­sondere [Goodman 1968a]Goodman, Nelson (1968, 2. rev. Aufl. 1976).
    Languages of Art. Indianapolis: Hackett, dt.: Sprachen der Kunst. Suhrkamp 1998.

      Eintrag in Sammlung zeigen
    .
  16. Der mereo­geo­metrische Punkt ist in der Regel nicht identisch mit der minimalen Region selbst, sondern wird als Klasse über alle Individuen/Regionen definiert, an denen er Teil hat.
  17. Natürlich wird dieses Maximal­pixem trotzdem immer auch als Teil seiner jeweiligen räumlichen Umgebung – seines Kontexts – wahr­genommen.
  18. Vgl. Wikipedia: Quarterion.
Literatur                             [Sammlung]

[Asher & Vieu 1995a]: Asher, Nicholas & Vieu, Laure: (1995). Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology. IJCAI-95. , S. 846–852.

[Aur­na­gue & Vieu 1993a]: Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993). A Three-Level Approach to the Semantics of Space. In: Zelinsky-Wibbelt, C. (Hg.): The Semantics of Prepositions – From Mental Processing to Natural Language Processing. Berlin: Mouton de Gruyter, S. 393–439. [Borgo & Masolo 2010a]: Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010). Full Mereogeometries. The Review of Symbolic Logic, Band: 3, Nummer: 4, S. 521 - 567. [Descartes 1637a]: Descartes, René (1637). La géométrie. Leiden: Jan Maire, Anhang des ‘Discours de la méthode’. [Goodman 1968a]: Goodman, Nelson (1968, 2. rev. Aufl. 1976). Languages of Art. Indianapolis: Hackett, dt.: Sprachen der Kunst. Suhrkamp 1998. [Hers­ko­vits 1986a]: Herskovits, Annette (1986). Language and Cognition – An Interdisciplinary Study of the Prepositions in English. Cambridge: Cambridge Univ. Press. [Hilbert 1899a]: Hilbert, David (1899). Grundlagen der Geometrie. Leipzig: Teubner. [Kant 1968a]:
Literaturangabe fehlt.
Bitte in der Bibliographie-Sammlung einfügen als:
- Buch,
- Artikel in Zeitschrift,
- Beitrag in Sammelband,
- Sammelband,
- andere Publikation,
- Glossarlemma.
[Saint-Martin 1987a]: Saint-Martin, Fernande (1987). Sémiologie du langage visuel. Montréal: Presses de l’Université du Quebec, Englisch: Semiotics of Visual Language. Bloomington, Indianapolis: Indiana University Press.. [Schir­ra 1994a]: Schirra, Jörg R.J. (1994). Bildbeschreibung als Verbindung von visuellem und sprachlichem Raum. St. Augustin: DISKI, ISBN 3-929037-71-8 . [Tarski 1929a]: Tarski, Alfred (1929). Les fondement de la géometrie des corps. Cracovie: Société polonaise de mathématique, Erweiterte Fassung in Tarksi: Logique, Sémantique, Métamathématique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.


Hilfe: Nicht angezeigte Literaturangaben

Verantwortlich:

Lektorat:

Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra [52], Tobias Schöttler [7] und Emilia Didier [1] — (Hinweis)