Raum und Geometrie

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Version vom 23. Juli 2013, 07:33 Uhr von Tobias Schöttler (Diskussion | Beiträge) (Euklidische Geometriekalküle)
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Unterpunkt zu: Bildsyntax
Glossar-English:Space and Geometry


Raum als Grundkategorie der Bildmorphologie

Die Menge der syntaktischen Komponenten wahrnehmungsnaher Zeichen kann im Prinzip in zwei Gruppen aufgeteilt werden: Einerseits gibt es eine abstrakte relationale Basisstruktur. Sie spannt meist mehrere koordinierte Dimensionen auf, in welche die Elemente der zweiten Gruppe eingeordnet werden können. Letztere bilden Systeme perzeptueller Markerwerte, die es überhaupt erst erlauben, die zugrunde liegende Basisstruktur wahrnehmen zu können. In den Worten Kants formt die Basisstruktur eine reine Anschauung.[1] Bei Bildern ist die Basisstruktur der zweidimensionale Raum, wohingegen die Markerwerte im Wesentlichen aus Farben und Texturen bestehen, die die rein räumliche Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen.

Die Regeln, die unser Sprechen über Raum organisieren (zumindest sofern dieses Sprechen als rational kontrolliert verstanden wird), sind mindestens schon seit der neolithischen Revolution mit der Einführung von Architektur, Ackerbau und den dazu benötigten aufeinander abgestimmten räumlichen Aktivitäten im Fokus der Aufmerksamkeit. Heute beeinflussen vor allem die Kalkülisierung der Geometrie im antiken Griechenland und ihre algebraische Reformulierung im 16. Jhd. die Konzeption des reinen Raums, der auch der Bildsyntax zugrunde liegt.[2]

Geometrische Kalküle als Formalisierung von Raum

Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genommen eine Menge von Regeln, die zuallererst die Möglichkeiten festlegen, über sogenannte geometrische Entitäten ganz im Abstrakten – d.h. ohne Bezug auf Konkreta mit kontigenten nicht-geometrischen Eigenheiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begrifflichen Bestimmungen einer Menge räumlicher Begriffe. Die Begriffe für elementare geometrische Entitäten werden im Wesentlichen durch die Relationen bestimmt, in die sie miteinander eintreten können. Diese werden üblicherweise unterteilt in Beziehungen von Kontakt und Nachbarschaft (topologische Relationen),[3] Beziehungen, die Abstand und Ausdehnung betreffen (metrische Relationen)[4] und Beziehungen hinsichtlich Richtung und Orientierung (direktonale oder projektive Relationen).[5]

Über geometrische Begriffe zu verfügen, hat vor allem drei Auswirkungen:

  • Der ontologische Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlauben, etwas als räumlich zu beschreiben.[6] Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verstehen, d.h. als eine geometrische Entität, bedeutet, es als ein rein räumliches Etwas zu begreifen – unabhängig von allen anderen Charakteri­sierungen, die ebenfalls zutreffen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein).[7] Kurz gesagt: Die Welt erscheint räumlich organisiert, wenn wir ihre Teile mithilfe geometrischer Begriffe unterscheiden.
  • Der epistemologische Aspekt beinhaltet (u.a.), dass die Gestalten, die in Beschreibungen visuellen Wahrnehmens vorkommen, als geometrische (und daher: räumliche) Entitäten verstanden werden können. Das heißt, der Kalkül formalisiert einen abstrakten Teil unseres Verständnisses von der visuellen Wahr­nehmung (auch ⊳ Gegen­stand der visuellen Wahr­nehmung): Kurz gesagt: Wir sehen die Welt als räumlich organisiert.
  • Der argumentative Aspekt bedeutet schließlich, dass die Regeln des Kalküls angeben, wie eine gegebene Beschreibung räumlicher Gegenstände umgeformt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschreibung zu verändern: Diese Umformungen werden meist unter der Bezeichnung ‘räumliches Schließen’ zusammengefasst:[8] Kurz gesagt: Wenn wir rational über Raum diskutieren, verwenden wir die Kalkül-Regeln für geometrische Begriffe.

Der Standardansatz zu geometrischen Kalkülen ist Euklids axiomatisches System, das auf dem Begriff eines unausgedehnten aber eindeutig lokalisierten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist allerdings ziemlich abstrakt und verhältnismäßig weit entfernt von der konkreten Erfahrung mit Raum. Eine Familie von Non-Standard-Geometrie­kalkülen, die im Wesentlichen erst im 20. Jhd. entwickelt wurde und kognitiven Prinzipien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Formalisierung von Geometrie ohne dieses Problem und mit interessanten Eigenschaften für die Bildmorphologie: Mereogeometrien.

Euklidische Geometriekalküle

Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axiomatische System der Geometrie von Euklid vorgeschlagen.[9] Ausgehend von einer Menge grundlegender Postulate (sog. ‘Axiome’) können in diesem System Schluss­folgerungen gezogen werden, um formal (d.h. nur mittels logischer Deduktion) Theoreme über geometrische Objekte und deren Eigenschaften und Relationen zu beweisen. Die Diskussion dieses Ansatzes insbesondere über die Unabhängigkeit der fünf Grund­postulate hat tatsächlich in der Folge zu verschiedenen Varianten solcher geometrischer Kalküle geführt, die den Bereich der synthetischen Geometrie bilden.[10]

Im 17. Jhd. entwickelte Descartes ([Descartes 1637a]Descartes, René (1637).
La géo­métrie. Leiden: Jan Maire, Anhang des ‘Dis­cours de la métho­de’.

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) einen alternativen, auf algebraischen Formeln beruhenden Formalismus – Orte werden durch Zahlen beschrieben, die deren Entfernungen zu einem Ursprungs­punkt relativ zu Koordinaten­achsen enkodieren (kartesische Koordinaten). Von dieser analytischen Geometrie, die letztlich zu den heute zumindest im technischen Bereich meist verwendeten Vektor­kalkülen des Raumes geführt hat, konnte formal bewiesen werden ([Hilbert 1899a]Hilbert, David (1899).
Grund­lagen der Geo­metrie. Leipzig: Teubner.

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), dass sie vollkommen äquivalent zu Euklids Kalkül ist.[11]

Alle geometrischen Objekte werden wesentlich betrachtet als Mengen individueller Orte, genannt ‘Punkte’, die, wie Euklid sich ausdrückte, das sind, „was keine Teile hat“. Punkte können in einer oder mehreren Dimensionen organisiert sein – abhängig von der Menge der unabhängigen (‘orthogonalen’) Koordinatenachsen, die mit den Hauptrichtungen assoziiert sind. Jede Achse organisiert die Punkte zudem gemäß den reellen Zahlen. Daher sind die Euklidischen Punkte notwendig in einem Kontinuum angeordnet.

Mit den Regeln des Geometriekalküls werden räumliche Homo­genität (Invarianz gegenüber Translation des Koordinaten­ursprungs) und Iso­tropie (Invarianz gegenüber Rotation der Koordinaten­achsen) erreicht, die letztlich die Basis bilden für die syntaktische Dichte des Bild­raumes. Allerdings führt die übliche euklidische Formalisierung der Geometrie auch zu der uner­wünschten Folge, dass die grund­legenden Pixeme notwendig unaus­gedehnte Punkte sind – ein hoch­abstrakter, von der Erfahrung weit entfernter Begriff also. Jede ausgedehnte Region – und damit letztlich auch jedes Pixem – muss dann aus einer unendlich großen Menge elementarer geometrischer Objekte bestehen, ganz im Gegensatz zur Gestalt-Konzeption der (Raum-)Wahrnehmung.

Mereogeometrische Kalküle

Einige Nichtstandard-Kalküle des Raumes liefern einen inte­ressanten Ausweg aus diesem Dilemma: Mereogeometrien sind das Ergebnis eines formalen Ansatzes zur Geometrie, die im Wesentlichen im 20. Jhd. entwickelt wurden, und die versuchen, den fundamentalen kognitiven Prinzipien gerecht zu werden. Wenn ein Punkt, wie Euklid dachte, das sein soll, „was keine Teile hat“, dann sollten Teil-Ganzes-Beziehungen offensichtlich als zentrale Elemente der Geometrie betrachtet werden. Zumindest für eine Begründung des Bild­raumes wären zudem geo­metrische Entitäten mit Teilen die natürlicheren Kandidaten für die logischen Grund­bau­steine geo­metrischer Kalküle.

Im Gegensatz zu den Geometriekalkülen im Stile Euklids ist die Familie der mereo­geometrischen Kalküle auf dem Begriff einer Region aufgebaut, einer ausgedehnten Einheit, die unterscheidbare echte Teile haben mag oder auch nicht. Diese Regionen werden in der Mereo­geometrie oft auch ‘Individuen’ genannt, da sie als unhinter­gehbare Grund­elemente des Kalküls gelten.[12] Sie haben keine unmittelbaren Form- oder Positions­eigenschaften:[13] Lediglich die Beziehungen zu anderen Individuen, die insbesondere ihre Teile sein können oder von denen sie ein Teil sind, bestimmen Form, Ausdehnung und relative Lage: Die Form etwa ist determiniert durch die Relationen zwischen den Teil­regionen eines Gebiets.

Während in Euklidischen Geometrien zunächst die unendlich große Menge des Kontinuums von Ko­ordinaten eingeführt wird, die die potentiellen Punkte bestimmen, von denen einige dann als relevant ausge­wählt werden (in aller Regel sind das für praktische bedeutsame Fälle immer noch unendlich viele), beginnen mereo­geometrische Kalküle mit einer (für gewöhnlich endlichen) Anzahl relevanter Regionen (‘Individuen’).[14] Ein solches Individuum kann man sich – den wahrnehmungs­psychologischen Prinzipien der Gestalt­schule folgend – sehr wohl auch als eine visuelle Gestalt vorstellen: Man muss zunächst das wahr­genommene Ganze betrachten und sollte die Begriffe der perzeptuellen “Atome” erst danach als Instrumente zum Erklären der Gestalten einführen, nicht umgekehrt. Schließlich sehen Menschen – und das gilt ins­besondere auch für die Bildwahrnehmung – keine unendlich großen Mengen null-dimensionaler Punkte, sondern ausge­dehnte Gestalten. Der abstrakte Begriff einer räumlichen Einheit ohne Ausdehnung ist sekundär und zu dem Zweck konstruiert, einige Aspekte des Erfahrungs­raums zu erläutern, während er an anderer Stelle zu ernst­haften Problemen führt.

Da Raum traditionell durch Punkt-basierte Geometrie­kalküle be­griffen wurde, ist immerhin zu bemerken, dass die Eigen­schaften des Euklidischen Raumes (d.h. des durch Euklidische Kalküle beschriebenen Raum­konzepts) im Großen und Ganzen durchaus zu unseren allgemeinen Vor­stellungen von Raum passen. Daher sollte es auch nicht überraschen, dass die meisten mereo­geometrischen Kalküle zu Systemen führen, die dem Euklidischen Raum äquivalent sind (vgl. [Borgo & Masolo 2010a]Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010).
Full Mereo­geome­tries. In The Review of Sym­vbolic Logic, 3, 4, 521 - 567.

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). Diese Tatsache verdeutlicht, dass unsere Kognitionen von Raum ziemlich stabil und praktisch sind und nicht von der Wahl der geometrischen Primitive abhängt. Tatsächlich geht es auch nicht darum, lediglich die Eigen­arten des Alltags­begriffs von Raum abzudecken. Die Pointe liegt vielmehr darin zu erläutern, wie wir diesen spezifischen Begriff von Raum kognitiv erreichen. Die primäre Frage, die Mereo­geometrien aus dieser Perspektive zu beantworten suchen, ist daher, welche Primitive auf ausge­dehnte Objekte anwendbar sind, die ausdrucks­stark genug sind, den Alltags­begriff von Raum zu entfalten.

Geometriekalküle und bild­morpho­logische Strukturen

Die Forschung zu mereo­geometrischen Kalkülen stützt in der Tat einen irritierenden bild­morphologischen Befund: das Fehlen von Ein­schränkungen für die Wahl der morphologischen Primitive. In beiden Bereichen kommt man leicht zu äquivalenten Formalismen obwohl man von ganz unter­schiedlichen Voraus­setzungen ausge­gangen ist. Daher darf die Wahl der Primitive nicht nur von rein formalen Eigenschaften abhängen, sondern muss von Argumenten und Beobach­tungen aus anderen, insbesondere kogni­tiven, evoluti­onären, mentalen und wahr­nehmungs­psycho­logischen Per­spek­tiven unter­stützt werden. Die Entwicklung der geo­metrischen Kalküle bis hin zu den Mereo­geo­metrien führt zu geo­metrischen Ansätzen, die, indem sie unter­schiedliche Primitive ausnutzen, ganz zwanglos verschiedene formale Systeme mit äquivalenter Ausdrucks­stärke hervorbringen. Einerseits führt die Suche nach der Grund­legung von Pixemen (als Primitive wie als Prototypen) direkt zu einer Debatte, die der Diskussion über die fundamentalen geo­metrischen Entitäten entspricht. Andererseits legt der Wunsch, mit einem Computer­programm komplexe Bilder zu erzeugen oder zu verstehen, (zumindest in der Theorie) die Existenz einer begrenzten Zahl von Basis­pixemen nahe, die in einem formalen Kalkül bei beschränkter Komplexität beliebig kombi­nierbar sein sollen (⊳ Bild­verar­beitung, digitale).[15]

Pixeme als geometrische Entitäten

Im Kontext der morphologischen Struktur von Bildern beschreibt der geometrische Kalkül, wie wir (rational) über die Basisstruktur der Bildebene und den darin enthaltenen Pixemen reden. Eine Basisstruktur, die den Regeln, wie sie vom Kalkül vorgeschrieben sind, nicht erfüllt, führt zu syntaktisch unkorrekten Bildern. Mit einem punkt-basierten Kalkül werden Pixeme verstanden als (unendliche) Mengen von Punkten, die durch Gestalt-orga­nisie­rende Prozesse auf den visuellen Marker­werten (⊳ Farbe als bild­syntak­tische Kategorie) bestimmt sind. Die unendlich vielen Punkte, die jedes Pixem enthält, sind letztlich Orte, die lediglich potentiell von Interesse sein könnten: Sie mögen morphologisch relevant werden, wenn man den gerade betrachteten Bild­träger mit einem anderen Bild­träger vergleicht. Entsprechend kommt in Euklidischen Kalkülen ein Begriff der Auflösung nicht vor: Der hypothetische Auflösungs­faktor ist hier immer unendlich – entsprechend einer Gottes­perspektive auf Raum.

Bei einem mereo­geometrischen Kalkül sind Pixeme “Individuen”, also primitive Entitäten des Kalküls. Wenn wir davon ausgehen, dass die Gestalt-Prinzipien, die visuelles Wahrnehmen organisieren, genau solche Regionen bestimmen, die syntaktisch relevant sind, können diese Pixeme also ganz zwanglos als etwas in der Wahrnehmung Gegebenes aufgefasst werden. Es besteht keine Not­wendigkeit, weitere Punkte zu betrachten.

Punkte, Auflösung und Mikroskopierung

Während Mereogeometrien mit reinem Raum beschäftigt sind, muss Bild­morpho­logie weitere Faktoren berücksichtigen, wie »Granu­larität« (welche sehr grund­legende Eigen­schaften, wie Kontakt zwischen Entitäten, und damit die Topo­logie an sich, beeinflusst). In der Tat kann in der Mereo­geometrie der Begriff einer kleinsten Region durchaus eingeführt werden: Sie werden in den Kalkülen für gewöhnlich ‘Punkte’ genannt, könnten aber ebenso gut als ‘Pixel’ bezeichnet werden. Ein solcher Punkt, der sich offensichtlich deutlich vom Euklidischen Punkt­begriff unter­scheidet, ist im wesentlichen definiert über eine Region, die keine echte Teil­region im Kalkül aufweist (d.h.: es werden keine solchen Teile betrachtet!).[16] Wenn der Begriff »Punkt« auf mereo­geo­metrische Weise eingeführt wird, ist es bei der Betrachtung eines konkreten Falles – bei Betrachtung eines endlichen Raum­bereichs – nicht not­wendig, unendlich viele solcher Punkt-Regionen zu berück­sichtigen. Lediglich “relevante” Punkte müssen instantiiert werden. Das bedeutet zugleich, dass ein solcher Kalkül den Raum stets mit endlicher Auf­lösung erfasst. Allerdings haben N. Asher & L. Vieu ([Asher & Vieu 1995a]Asher, Nicholas & Vieu, Laure (1995).
To­ward a Geo­metry of Common Sense: A Seman­tics and a Com­plete Axio­mati­zation of Mereo­topo­logy.
In IJCAI-95, 846–852.

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) durch eine modale Erweiterung ihres mereo­geo­metrischen Kalküls einen ‘Mikroskopierung’ genannten formalen Mecha­nismus vorge­schlagen, der eine Art Zooming-Operation darstellt: Was auf einer Betrachtungs­ebene ein Punkt ist, kann dann auf einer anderen, mikrosko­pierten Betrachtungs­ebene eine zusammen­gesetzte Region sein, die aus mehreren (relevanten) Punkten besteht.

Die leere Bildfläche und Maximal­pixeme

Im Gegensatz zu den Räumen der Standard­geometrien ist der Bild­raum stets nach außen beschränkt: Die Bild­ebene besteht aus einem einzigen Maximal­pixem, das kein Teil eines anderen Pixems des Bildes ist – Fernande Saint-Martin verwendet hierfür den Ausdruck ‘basic picture plane’ ([Saint-Martin 1987a]Saint-Martin, Fernan­de (1987).
Sémio­logie du lan­gage visuel. Mont­réal: Presses de l’Uni­versi­té du Quebec, Englisch: Semio­tics of Visual Lan­guage. Blooming­ton, India­napolis: India­na Uni­versity Press..

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).[17] Die für mereo­geo­metrische Kalküle zentrale Unter­scheidung des abge­schlossenen, d.h. seine Grenze mit umfassenden Individuums gegenüber dem Teil­individuum, das dem Ersteren ganz entspricht ohne aber die Grenze selbst zu beinhalten, liefert einen unmittel­baren Ansatz für die Unter­scheidung des Rahmens vom eigent­lichen Bild (⊳ Rahmung, Rahmen).
Abbildung 1: Recht­eckiges Maximal­pixem mit “energe­tischem Phänomen” nach Saint-Martin
Wird die übliche recht­eckige Grund­form der Bild­fläche ge­wählt, er­geben sich bei mereo­geo­metrischer Be­trach­tung zu­dem ins­beson­dere vier Indi­vi­duen, die als (mereo­geo­metrische) Punkte zu be­trach­ten sind: die vier Ecken. Dabei dürfte die “energetische Auf­ladung” der Eck­regionen, auf die etwa Saint-Martin in ihrer bild­morpho­logischen Ab­hand­lung hin­weist (s. Abb. 1), mit der Kon­struk­tion des Punkt­konzeptes inner­halb der meisten mereo­geo­metrischen Kalküle zusammen­hängen: Im mereo­geo­metrischen Kalkül von Tarski etwa werden Punkte als Klasse aller im Kalkül betrachteten konzentrischen Kreise eingeführt ([Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929).
Les fonde­ment de la géo­metrie des corps. Cracovie: Socié­té polo­naise de mathé­matique, Erwei­terte Fassung in Tarksi: Lo­gique, Séman­tique, Méta­mathé­matique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.

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). Für jede Ecke einer recht­eckigen Bild­fläche müssen in einer Beschreibung also entsprechende Kreis­individuuen instanziiert werden – ihre in der Bild­fläche liegenden Teile entsprechen den Energie­linien Saint-Martins.

Weitere Aspekte

Bildsemantische Aspekte der Geometrie

Die in geometrischen Kalkülen gefassten Raum­konzepte spielen natürlich auch eine wichtige Rolle in der Bild­semantik: Die Pro­jek­tion einer drei­dimen­sionalen Szene auf eine zwei­dimen­sionale Bild­fläche gehorcht Regeln, die sich insbesondere (wenn auch nicht aus­schließlich) aus den Kalkülen der projektiven Geo­metrien ergeben. Auf diese Zusammen­hänge wird im Lemma Perspektive und Projektion näher eingegangen.

Zeit als Raum

Physikalisch wird auch die zeitliche Erstreckung und Anordnung als weitere (vierte) geo­metrische Dimension gefasst. Dies spielt in der Bild­philosophie entsprechend bei Film, Video, Fernsehen und anderen Bewegt­bild­formaten eine Rolle. Im strengen physi­kali­schen Sinne wird allerdings die zeitliche “Raum­richtung” von den räumlichen Dimensionen oft dadurch hervorgehoben, dass sie als imaginäre Achse eines vier­dimen­sionalen komplexen Vektor­raumes angesetzt wird, oder umge­kehrt die eigent­lichen Raum­anteile als imaginäre Dimen­sionen die Zeit als einzige reell­wertige Dimen­sion ergänzen (sog. ‘Quarternionen’).[18] Auch in der Com­puter­graphik werden solche Quarter­nionen zur Berechnung von Trans­formationen von 3D-Modellen verwendet. Insbesondere Drehungen im Raum lassen sich auf diese Weise besonders einfach formal behandeln.

Anmerkungen
  1. Als logische Voraussetzung der Wahrnehmung – d.h. als ihre „Bedingung der Möglichkeit“ – sind reine Anschauungen nicht selbst wahrnehmbar ([Kant 1968a]Kant, Immanuel (1968).
    Kritik der reinen Vernunft. Berlin: de Gruyter, A: 1781, B: 1787.

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    : B 33-36).
  2. Damit wird nicht behauptet, dass jene Kalküle ausreichten, wenn es um semantische oder pragmatische Aspekte geht; ⊳ Theorien des Bildraums.
  3. Vgl. auch Wikipedia: Topologie (Mathematik).
  4. Vgl. auch Wikipedia: Metrischer Raum.
  5. Vgl. auch Wikipedia: Projektive Geometrie.
  6. Genauer gesagt: Eine solche Beschreibung besteht aus Äußerungen, die Propositionen mit einer Prädikation verwenden, die sich auf einen geometrischen Begriff bezieht, der durch den Kalkül festgelegt ist.
  7. D.h.: »geo­metrisch sein« als solches impliziert nicht not­wen­dig schon  »räum­lich sein«.
  8. Insbesondere die Regeln, die geometrische Begriffe mit­einander in Beziehung setzen, wie etwa dass »links« das Inverse zu »rechts« sei oder dass »in« unter gewissen Voraussetzungen eine transitive Relation sei, können als Mittelterme in räumlichen Syl­logismen verwendet werden, die verschiedene Propositionen über geometrische Entitäten mit­einander verbinden. Vgl. hierzu aber auch die über die reine Geometrie hinausgehenden Anteile an solchen Schluss­prozessen, wie sie insbesondere in [Herskovits 1986a]Herskovits, Annet­te (1986).
    Lan­guage and Cogni­tion – An Inter­disci­plinary Study of the Prepo­sitions in English. Cam­bridge: Cam­bridge Univ. Press.

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    oder [Aurnague & Vieu 1993a]Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993).
    A Three-Level Approach to the Seman­tics of Space.
    In The Seman­tics of Prepo­sitions – From Mental Process­ing to Natu­ral Lan­guage Process­ing, 393–439.

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    begründet werden, und die Kopplung dieser Überlegungen mit begriffs­genetischen Argumentationen in [Schirra 1994a]Schirra, Jörg R.J. (1994).
    Bildbe­schreibung als Verbin­dung von visu­ellem und sprach­lichem Raum. St. Augus­tin: DISKI.

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    : insbesondere Kap. 5.
  9. Vgl. auch Wikipedia: Euklidische Geometrie.
  10. Vgl. Wikipedia: Synthetische Geometrie. Vor allem das “fünfte Axiom”, wie es meist genannt wird, das sich mit dem Begriff der Parallelität befasst, erwies sich als sehr fruchtbar, obwohl die klassischen Nicht-Euklidischen Kalküle, die daraus entstanden, in der Regel für Bild­syntax wenig relevant sind; vgl. Wikipedia: Parallelenaxiom.
  11. Vgl. auch Wikipedia: Analytische Geometrie.
  12. Mereogeometrische Regionen können als für den mereo­geometrischen Kalkül unteilbar (‘in-dividuum’) gelten, obwohl sie in Teil-Ganzes-Beziehungen eingehen und daher andere Regionen als Teile haben können, weil ihre Eigen­schaften nicht auf die Kompo­sition aus zugrunde liegenden Elementen zurückgeführt wird.
  13. Ausnahmen belegen hier die Regel: In einigen Varianten werden etwa nur kreisförmige Regionen betrachtet ([Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929).
    Les fonde­ment de la géo­metrie des corps. Cracovie: Socié­té polo­naise de mathé­matique, Erwei­terte Fassung in Tarksi: Lo­gique, Séman­tique, Méta­mathé­matique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.

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    ).
  14. Ein ausführlicheres Beispiel eines mereogeometrischen Kalküls findet sich in Exkurs:Mereogeometrien.
  15. Natürlich umfasst die Bild­morpho­logie wesent­lich mehr als diese Frage; vgl. insbe­sondere [Goodman 1968a]Goodman, Nelson (1968).
    Lan­guages of Art. India­napolis: Hackett, 2. rev. Aufl. 1976.

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    .
  16. Der mereo­geo­metrische Punkt ist in der Regel nicht identisch mit der minimalen Region selbst, sondern wird als Klasse über alle Individuen/Regionen definiert, an denen er Teil hat.
  17. Natürlich wird dieses Maximal­pixem trotzdem immer auch als Teil seiner jeweiligen räumlichen Umgebung – seines Kontexts – wahr­genommen.
  18. Vgl. Wikipedia: Quarterion.
Literatur                             [Sammlung]

[Asher & Vieu 1995a]: Asher, Nicholas & Vieu, Laure (1995). To­ward a Geo­metry of Common Sense: A Seman­tics and a Com­plete Axio­mati­zation of Mereo­topo­logy. IJCAI-95. Morgan Kauf­mann, S. 846–852.

[Aurnague & Vieu 1993a]: Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993). A Three-Level Approach to the Seman­tics of Space. In: Zelin­sky-Wibbelt, C. (Hg.): The Seman­tics of Prepo­sitions – From Mental Process­ing to Natu­ral Lan­guage Process­ing. Berlin: Mouton de Gruyter, S. 393–439. [Borgo & Masolo 2010a]: Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010). Full Mereo­geome­tries. The Review of Sym­vbolic Logic, Band: 3, Nummer: 4, S. 521 - 567. [Descartes 1637a]: Descartes, René (1637). La géo­métrie. Leiden: Jan Maire, Anhang des ‘Dis­cours de la métho­de’. [Goodman 1968a]: Goodman, Nelson (1968). Lan­guages of Art. India­napolis: Hackett, 2. rev. Aufl. 1976. [Herskovits 1986a]: Herskovits, Annet­te (1986). Lan­guage and Cogni­tion – An Inter­disci­plinary Study of the Prepo­sitions in English. Cam­bridge: Cam­bridge Univ. Press. [Hilbert 1899a]: Hilbert, David (1899). Grund­lagen der Geo­metrie. Leipzig: Teubner. [Kant 1968a]: Kant, Immanuel (1968). Kritik der reinen Vernunft. Berlin: de Gruyter, A: 1781, B: 1787. [Saint-Martin 1987a]: Saint-Martin, Fernan­de (1987). Sémio­logie du lan­gage visuel. Mont­réal: Presses de l’Uni­versi­té du Quebec, Englisch: Semio­tics of Visual Lan­guage. Blooming­ton, India­napolis: India­na Uni­versity Press.. [Schirra 1994a]: Schirra, Jörg R.J. (1994). Bildbe­schreibung als Verbin­dung von visu­ellem und sprach­lichem Raum. St. Augus­tin: DISKI. [Tarski 1929a]: Tarski, Alfred (1929). Les fonde­ment de la géo­metrie des corps. Cracovie: Socié­té polo­naise de mathé­matique, Erwei­terte Fassung in Tarksi: Lo­gique, Séman­tique, Méta­mathé­matique. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34.


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Verantwortlich:

Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra [52], Tobias Schöttler [7] und Emilia Didier [1] — (Hinweis)